Интересный вопрос: что-то типа проблемы палиндромов

[Алексей А.]

Вот какую интересную вещь заметил. Все числа можно поделить на два класса по очень интересному свойству. Рассмотрим такое действие над числами. Исходное число вида abcd , где a,b,c,d - цифры, (для наглядности возьмём число 3295) складываем с числом с обратным, по отношению к исходному, порядком цифр и знаком (-dcba, по нашему примеру -5923). Так продолжаем до получение нуля – первый класс или до того, как данная операция “зациклиться”(например число 1562).

[PAV]

PAV:

Сообщение переносится в карантин, поскольку в таком виде это иначе как спамом назвать нельзя. Если автор хочет что-то обудить, то следует написать подробнее о сути дела. Если сделаете, то напишите любому модератору и тема будет возвращена.

[PAV]

Возвращено

[Алексей А.]

Вот пример числа первого типа (693): 693+(-396)=297; 297+(-792)=-495; -495+594=99; 99+(-99)=0 А вот пример числа второго типа (1199): 1199+(-9911)=-8712; -8712+2178=-6534; (*)-6534+4356=-2178; -2178+8712=6534; 6534+(-4356)=2178; 2178+(-8712)=-6534. Как видно мы опять вернулись к выражению со звёздочкой (*). В интервале [0;10000] чисел второго типа 637 штук.

Добавлено спустя 7 минут 33 секунды:

Также заинтерисовавшимся могу передать по мылу программы для нахождения чисел второго типа, граф для значений от 0 до 10000] ну и сопутствующие данные...

[PAV]

На самом деле ничего принципиально интересного здесь я не вижу. Допустим, что у нас есть некоторое абстрактное отображение $f$, которое ставит в соответствие любому целому числу $x$ некоторое целое число $f(x)$. Можно применять его раз за разом и смотреть, что получится. Вообще говоря, получиться может одна из двух вещей. Либо мы в какой-то момент получим число, которое уже было в цепочке раньше, либо никогда не получим. Второй случай для Вашего отображения исключен, поскольку оно не может увеличить количество цифр числа. Значит, мы в любом случае рано или поздно зацикливаемся.

Вы всего лишь выделили "в отдельное производство" случай нуля, поскольку это единственное число, которое при Вашем отображении переходит в себя. Но все равно по сути это частный случай зацикливания.

Так что непонятно, что неожиданного в данной ситуации Вы находите.

[Алексей А.]

Это впринципе понятно, но я не метематик, я радиотехник и мне более интересно найти формулу зависимости (т.е. чтобы по ней я мог найти все числа второго типа) Возможно ли вообще такое? Ещё интересна сопутствующая информация. При проведении вышеописанного действия (суммирование числа с обратным знаком и порядком цифр) результат всегда кратен 9. Пример: 265-562=-297; -297=-33*9.

[PAV]

Алексей А. писал(а):

При проведении вышеописанного действия (суммирование числа с обратным знаком и порядком цифр) результат всегда кратен 9

Здесь нет ничего загадочного, вспомните признак делимости на 9. Легко понять, что после преобразования число всегда ему будет удовлетворять.

Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд:

Насчет формулы - не уверен, что это легко.

Задача просто из интереса или имеет какие-нибудь практические приложения?

[juna]

Алексей А.
Если Вашу конструкцию немного изменить, то приходим к известному вопросу о палиндромах, который, кстати, открыт.
Т.е. если суммировать без знака и считать до тех пор, пока не получим палиндром (число, читающееся одинаково слева и справа). Вопрос в том, для каждого ли числа в десятичной системе счисления получим палиндром. Вот первые кандидаты на опровержение: 196, 295, 394, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978 (они требуют более 5000 итераций).
А отдельное число 196 исследовалось очень далеко, но палиндром так и не получен.

[Руст]

Вероятностные соображения говорят, что чем больше разрядность начального числа тем больше (в процентном отношении) таких чисел, которые никогда не приведут к палиндромам. По видимому это можно доказать (и строго без вероятностных соображений). Однако, мне неохота этим возится.

[Алексей А.]

Нет, вопрос практического применения не имеет, но это вопрос немалое место занял в головах моей и моего преподавателя по высшей математике. Если можете, назовите книг/ссылки о палиндромах, было бы интересно узнать по-подробнее.

[juna]

Это можно обосновать так. Вероятность среди $n$ разрядных чисел взять палиндром имеет порядок $\frac{1}{10^{[\frac n 2]}}$. Количество разрядов после каждой итерации почти линейно возрастающая функция. Соответственно, вероятность для всех чисел попасть в палиндром стремится к нулю. Но это мало интересно.
Интереснее для конкретного числа доказать невозможность прийти к палиндрому.
Это старая тема на данном форуме, с которой я начал в нем участие.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Интереснее для конкретного числа доказать невозможность прийти к палиндрому.

А я имел ввиду именно это. Из-за роста количества разрядов линейно (пропорционально $nlg(2)$) бесконечное произведение сходится.

[juna]

Видимо мы не поняли друг друга. Я тоже показал, что с ростом количества итераций вероятность в дальнейшем прийти к палиндрому уменьшается, и для приведенных мной чисел она совсем мала. Но это ничего не доказывает. Т.е. я имел в виду привести строгое доказательство для конкретного числа. Например, для основания системы счисления 2 такие числа построены.

[нг]

Алексей А.
Ставьте пробелы. Например, после точек с запятой.

[Алексей А.]

Господа, ознакомился с темой о симметричной сумме, захватывающая вешь, сразу же бросился писать программу для нахождения чисел, удовлетворяющих условию, и числа итераций. Но вопросы всё же остались. Скажите, можно ли поменять порядок цифр в числе пользуясь математическими средствами или это не выполнимо? Существует ли тема на форуме/литература/ссылки на материал по данной проблеме?