Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

ewert в сообщении #876785 писал(а):

Вообще обобщать можно что угодно и как угодно. Однако если такое обобщение бесполезно, то оно никому и не нужно. С попыткой определения первообразной на произвольном множестве дело ровно так и обстоит.

Вообще-то определение первообразной на произвольном множестве в точности укладывается в определение первообразной формы. Такая $F,\quad dF=f,$ определена с точностью до добавки $\phi,$ такой что $d\phi=0,$ то есть до замкнутой формы. Замкнутой 0-формой на действительном промежутке является константа. Замкнутой 0-формой на несвязном объединении $n$ промежутков является набор из $n$ констант. (Разумеется, в одномерном случае это всё тривиально и не заслуживает подробного рассмотрения.)

[mishafromusa]

ewert в сообщении #876751 писал(а):

Нет, гораздо более крупный: бесконечное количество констант.

Хорошо, ewert, 2 произвольные константы. Ну и галдёж, однако же, поднялся...

[ewert]

Munin в сообщении #876796 писал(а):

укладывается в определение первообразной формы. Такая $F,\quad dF=f,$ определена с точностью до добавки $\phi,$ такой что $d\phi=0,$ то есть до замкнутой формы.

Пусть будет форма, не важно. Кому она, даже и форма, нужна как единый объект на несвязном множестве? И для чего? Только для того, чтобы потом каждый раз проговаривать лишние слова про связность? Это полезно, но лишь в том случае, если автору учебника платят пословно.

[Munin]

ewert в сообщении #876801 писал(а):

Кому она, даже и форма, нужна как единый объект на несвязном множестве?

Это частный случай $n$-связности. Например, на неодносвязном множестве - уже всем нужна.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876698 писал(а):

mishafromusa в сообщении #876692 писал(а):

Беда в том, что Вы постоянно прыгаете от одной детали к другой вместо того, чтобы посмотреть на всю картину.

Потому что вижу набор разрозненных и разнородных кусков, которые в картину не складываются. Причём, судя по всему, не только я не вижу. А много людей вообще видят?

Даже на этом форуме Zubelevich увидел и понял, что липщицева теория гораздо проще, но почему-то решил, что люди, которые её выучат, никогда уже не смогут понять эпсилонов и дельт. Ewert, конечно, тоже видит, но он резко против. Munin интересуется, но ему трудно понять. На mathoverflow мне несколько человек сказали, что им этот подход нравится, другие выразили мнение, что он подходит скорее к более серьёзному курсу анализа, чем Calculus. Везде, где я выступал с докладом, люди относились с интересом и пониманием, а не враждебно. Вполне респектабельные американские математики, такие как Мамфорд, Гийемин и Пале, отнеслись очень положительно. А смышлёным школьникам это откровенно нравится, потому что это быстро, понятно и без занудства.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #876807 писал(а):

липщицева теория гораздо проще,

Она ненамного проще, но гораздо менее естественна.

mishafromusa в сообщении #876807 писал(а):

почему-то решил, что люди, которые её выучат, никогда уже не смогут понять эпсилонов и дельт.

Понять-то они, может, и смогли бы, да кто ж им даст.

У Вас, как мне кажется, происходит некоторая подмена целей. В чём, собственно, проблема? В том, что нематематиков отталкивает абстрактная математика. Но на этот случай есть вполне стандартный подход -- просто давать некоторые вещи без доказательства, лишь объясняя их на пальцах.. Вы же вместо этого сохраняете абстрактность -- за счёт резкого сужения её общности. Непонятно, почему это должно сделать курс более привлекательным.

-- Ср июн 18, 2014 18:44:03 --

mishafromusa в сообщении #876807 писал(а):

А смышлёным школьникам это откровенно нравится, потому что это быстро, понятно и без занудства.

Вот-вот, именно что смышлёным. Т.е. математикоориентированным. Но речь-то о прямо противоположной категории.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #876811 писал(а):

Понять-то они, может, и смогли бы, да кто ж им даст.

Да я же и не предлагаю вовсе исключить непрерывность, пределы и полноту из курса, я предлагаю заняться ими позже, когда студенты более подготовлены, и когда многие трюки уже поняты на более простом материале.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #876818 писал(а):

я предлагаю заняться ими позже, когда студенты более подготовлены,

Позже будет поздно. Приучать к этому нужно с детства (в смысле с первого семестра), тогда позже, на более сложном материале, на них будет достаточно уже лишь намекать. Учить же их будет уже некогда.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #876807 писал(а):

Даже на этом форуме Zubelevich увидел и понял, что липщицева теория гораздо проще,

ну, положим, я всетаки весьма осторожно высказывался. До известного предела она проще, да, а потом стена. То, что непрерывная на отрезке функция достигает своего минимума, липшицевость (если доказывать только для липшицевыых функций) доказать это не поможет. Основную теорему алгебры, кстати тоже липшицевость доказать не поможет. Есть круг идей, которые из-за липшицевости в принципе остается за кадром.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #876811 писал(а):

Вот-вот, именно что смышлёным. Т.е. математикоориентированным. Но речь-то о прямо противоположной категории.

Не совсем так, мне один мой знакомый из Kyoio University жаловался, что студенты, которые собираются заниматься биологией, лучше понимают математику, которой он их учит, чем студенты, которые хотят заниматься математикой. И вообще, почему бы и будущих математиков не ввести быстро в суть дела и не показать интересные приложения без полного формального развития более общей теории? Им это тоже полезно и интересно.

[nnosipov]

mishafromusa в сообщении #876807 писал(а):

А смышлёным школьникам это откровенно нравится, потому что это быстро, понятно и без занудства.

Так эксперименты нужно ставить не на смышлёных школьниках, это не интересно. Вот поставили бы Вы свои опыты на каких-нибудь ПТУ-ушниках и рассказали бы о результатах --- вот это было бы интересно.

-- Ср июн 18, 2014 22:27:20 --

mishafromusa в сообщении #876821 писал(а):

И вообще, почему бы и будущих математиков не ввести быстро в суть дела и не показать интересные приложения без полного формального развития более общей теории? Им это тоже полезно и интересно.

Потеря учебного времени.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #876820 писал(а):

Основную теорему алгебры, кстати тоже липшицевость доказать не поможет.

Ну её-то как раз, скорее всего, помогло бы: аналитичность -- она липшицева. Теорему Вейерштрасса -- да, не поможет.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #876821 писал(а):

Позже будет поздно. Приучать к этому нужно с детства (в смысле с первого семестра),

Так липшицеву теорию (и другие модули непрерывности) можно выучить и за полсеместра, там теории-то кот наплакал, и вся простая. А потом можно заняться и остальным.

-- 18.06.2014, 11:39 --

nnosipov в сообщении #876822 писал(а):

Потеря учебного времени.

Вы (и другие) просто отказываетесь понимать, что когда идеи и навыки усвоены на простом материале, их гораздо легче переварить и в более общем контексте, поэтому потеря времени совсем не гарантирована.

-- 18.06.2014, 11:46 --

nnosipov в сообщении #876822 писал(а):

Вот поставили бы Вы свои опыты на каких-нибудь ПТУ-ушниках и рассказали бы о результатах --- вот это было бы интересно.

А что, птушников тоже анализу учат? Им бы липшицева теория могла бы быть более посильной, чем пределы, непрерывность и компактность, по крайней мере у них бы был шанс хоть что-то понять.

-- 18.06.2014, 12:08 --

ewert в сообщении #876811 писал(а):

Она ненамного проще, но гораздо менее естественна.

Она намного проще потому, что вместо многокванторных выкрутасов, которые часто толком и не объяснаяют, используются вполне конкретные неравенства. Она естественна, так как является прямолинейным обобщением того, что мы видим на примерах элементарных функциий.

[nnosipov]

mishafromusa в сообщении #876825 писал(а):

Вы (и другие) просто отказываетесь понимать, что когда идеи и навыки усвоены на простом материале, их гораздо легче переварить и в более общем контексте, поэтому потеря времени совсем не гарантирована.

Но Вы же имели в виду будущих математиков. И я про них говорил. А у этих-то товарищей проблемы понимания просто нет. Вместо дополнительной порции анализа лично я в своё время предпочёл бы более продвинутый курс алгебры или чего-нибудь дискретного. Но учебный план не резиновый. Какая уж тут роскошь рассказывать дважды.

Для математиков, кстати, был бы интересен курс $p$-адического анализа. Вот где простор для всяких методических изысканий.

[mishafromusa]

nnosipov в сообщении #876840 писал(а):

Какая уж тут роскошь рассказывать дважды.

В том-то и дело, что не дважды, а двигаться от простого к сложному, а не наоборот. Такой эксперимент был поставлен именно на студентах математики и компьютерных наук в Боннском университете, и результаты были хорошие.