Пример "странной" группы

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Ну и сразу вопрос: согласны ли вы с таким примером группы и набора групп составленными из одного множества элементов?

С примерами согласен.

STilda писал(а):

Очевидно этот набор объединить в одну группу нельзя (не меняя заданных законов)

Наивно объединить нельзя только по одной причине - объединение этих множеств незамкнуто относительно операции. То есть достаточно рассмотреть множество пар, каждый элемент которых принадлежит соответствующей группе, и проводить операции почленно. Эта конструкция называется прямым произведением. Ее можно представить себе и другим образом - в виде попарных "произведений" элементов двух исходных групп вида $a*b, a*E=a, E*b=b$ или $E*E=E$, где операции производятся по своим правилам для каждого типа сомножителей ($(a_1*b_1)*(a_2*b_2)=(a_1*a_2)*(b_1*b_2)$). То есть законы при таком представлении не меняются, а расширяются.

STilda писал(а):

Речь идет о наборе систем, если исключается из рассмотрения взаимодействие элементов из разных систем набора.
Речь идет об одной системе, если непротиворечиво задаются взаимодействия любых комбинаций элементов.

Это слегка шизофренично - смотреть на одну систему и называть ее двумя. В теории групп говорят, что группа "раскладывается в прямое произведение", если ее можно представить в описанном мной выше виде.

STilda писал(а):

В пределах одной системы можем наблюдать целостные замкнутые подсистемы, но это не обязательно приводит к распадению на набор систем.

В теории групп есть простой критерий, когда это можно сделать - если группа состоит из попарных произведений элементов двух подгрупп, имеющими единственный общий элемент $E$. (Это справедливо для коммутативных групп, в некоммутативном случае подгруппы дополнительно должны быть нормальными.) Для ваших систем, в отличие от групп, придется слегка видоизменить критерий - система должна состоять из двух частей, не имеющих не только совпадающих элементов (кроме $E$), но и совпадающих результатов взаимодействия.

STilda писал(а):

Комплексные числа включают в себя действительные как замкнутую (относительно умножения) подсистему. Но при этом нельзя сказать, что группа $\{i,-1,-i,+1\}$ распадается на набор из двух $\{-1,+1\}$, $\{i,-i,+1\}$.

Естественно, здесь этот критерий не выполняется. Если взять квадрат $i$ из второго множества, результат окажется в первом.

STilda писал(а):

Я не согласен с тем, что умножив все соотношения двухполярной локи 4 на $a$, мы превратим набор из двух групп в одну систему.

Превратим, ибо аксиомам это не противоречит. Но система будет раскладываться в прямое произведение исходных. Критерий выполняется - лока 2 $\{a,E\}$ и двухполярная лока 4 $\{b,c,d,E\}$ имеют единственный общий элемент и/или результат взаимодействия $E$.

Для двухполярной локи 7 Ленского критерий также выполняется - она раскладывается в прямое произведение двух двухполярных лок 4 ($\{a,b,c,E\}$ и $\{d,e,f,E\}$), имеющих единственный общий элемент и/или результат взаимодействия $E$. И, как легко убедиться, все соотношения этой локи являются следствиями соотношений, уже известных в локах сомножителей (например, $a*b*d=c*e*f$ следует из $a*b=c$ и $d=e*f$, а $a*b*c*d*e*f=E$ - из $a*b*c=E$ и $d*e*f=E$).

А, например, для системы из вашего первого сообщения критерий не выполняется - как бы вы ни поделили элементы на два подмножества (сдублировав $E$), хотя бы в одном из них взаимодействие будет выводить за его рамки.

[STilda]

Дано, что $3-1=2$. Вы считаете, что выражение $5*2=5*(3-1)$ заданет операцию умножения $5$?

tolstopuz писал(а):

Это слегка шизофренично - смотреть на одну систему и называть ее двумя.

Да, но с другой стороны, выписывание множества элементов и набора неких законов взаимодействия этих элементов, не дает права называть это системой.

tolstopuz писал(а):

Для двухполярной локи 7 Ленского критерий также выполняется - она раскладывается в прямое произведение двух двухполярных лок 4 ...

Да, но только в том случае, когда некая тройка элементов дает единицу при взаимодействии.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Дано, что $3-1=2$. Вы считаете, что выражение $5*2=5*(3-1)$ заданет операцию умножения $5$?

Не понимаю. Я привык, что операция умножения задает для каждой пары элементов множества один элемент, называемый произведением. Вы пытаетесь расширить это понятие, говоря, что умножение может задавать для цепочки элементов множества новую цепочку элементов. Но если в определении умножения встречается еще и вычитание, то я не знаю, в какой системе аксиом вы работаете.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Это слегка шизофренично - смотреть на одну систему и называть ее двумя.

Да, но с другой стороны, выписывание множества элементов и набора неких законов взаимодействия этих элементов, не дает права называть это системой.

Одно приятное отличие вашей теории от математики заключается в том, что у вас определения и аксиомы всегда недосказаны, чтобы можно было в нужный момент повернуть их, как удобнее. Что такое "система"?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Для двухполярной локи 7 Ленского критерий также выполняется - она раскладывается в прямое произведение двух двухполярных лок 4 ...

Да, но только в том случае, когда некая тройка элементов дает единицу при взаимодействии.

Я с самого начала говорил именно о таком варианте, потому что Ленский рассматривает только его (теорема 21(1)). Естественно, его утверждение "если мы всё же ставим, вопреки написанному в теореме, некоторый объект, то получим противоречие" опять неверно - существуют и другие неизоморфные модели двухполярной локи 7, но это уже другой вопрос.

Так что у вас с алгеброй над локой 5? Получается?

[STilda]

Дано $6=2*3$. Задает ли выражение $5*6=5*2*3$ операцию умножения на $5$?

tolstopuz писал(а):

существуют и другие неизоморфные модели двухполярной локи 7

Мы же определили, что эти "другие" есть наборы систем. По крайней мере, пример НЕ набора вы не показывали.

tolstopuz писал(а):

Так что у вас с алгеброй над локой 5? Получается?

Я хочу уточнить. Допустим алгебра над группой из двух эелементов $+*+=+,-*+-=-,-*-=+$. Ведь она не совпадет с действительными числами, потому что в ней не будет закона $(+)+(-)=0$.? Если мы строим алгебру над группой, то это нас не обязывает задавать/добавлять новый нейтральный элемент (относительно операции сложения) в группу. Так?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Дано $6=2*3$. Задает ли выражение $5*6=5*2*3$ операцию умножения на $5$?

Одно приятное отличие вашей теории от математики заключается в том, что у вас определения и аксиомы всегда недосказаны, чтобы можно было в нужный момент повернуть их, как удобнее. Я знаю про n-арные операции, которые ставят n-ке объектов в соответствие один объект. Вы придумали какие-то свои операции, а теперь спрашиваете у меня об их свойствах. Это по меньшей мере странно.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

существуют и другие неизоморфные модели двухполярной локи 7

Мы же определили, что эти "другие" есть наборы систем.

Я до сих пор не понял, что именно в точности вы называете "набором систем". Пока из ваших слов получается, что двухполярная лока 7 Ленского - это тоже не "система", а "набор систем". Правильно?

STilda писал(а):

По крайней мере, пример НЕ набора вы не показывали.

А, я-то думал, что вы уже давно сами додумались.

$E=a^2=b^2=c^2=d^2=e^2=f^2$
$a=b*c=d*e$
$b=a*c=d*f$
$c=a*b=e*f$
$d=a*e=b*f$
$e=a*d=c*f$
$f=b*d=c*e$
$a*f=b*e=c*d$

Все взаимодействия трех и более объектов однозначно следуют из вышеперечисленных.

STilda писал(а):

Я хочу уточнить. Допустим алгебра над группой из двух эелементов $+*+=+,-*+-=-,-*-=+$. Ведь она не совпадет с действительными числами, потому что в ней не будет закона $(+)+(-)=0$.?

Конечно, не совпадает. В ней $-1(-)\ne1(+)$ и $-1(+)\ne1(-)$, хотя квадраты всех четырех элементов равны $1(+)$.

STilda писал(а):

Если мы строим алгебру над группой, то это нас не обязывает задавать/добавлять новый нейтральный элемент (относительно операции сложения) в группу. Так?

В группе только одна операция, насколько я понимаю, вы обозначаете ее умножением. Две операции появляются в групповом кольце, и там нейтральным элементом относительно сложения будет $0(+)+0(-)$, а относительно умножения $1(+)+0(-)$.

[anwior]

Уважаемый tolstopuz!
Очень прошу вкинуть мне на электр. ящик имеющуюся у Вас статью(и) Серра,
что имеет(ют) отношение к доказательству теорем(ы) Рибета. Если не желаете светить
мне свой эл. ящик, то при ответе на мой запрос хотя бы укажите адреса, в которых
статья(и) Серра доступна(ы) для обозрения.
Заранее благодарю!
Anwior .

[STilda]

По поводу примера системы:
Да, набор выделить не получеатся. Либо он более хитрый, либо действительно не только в наборах дело.
В таком определении законов встречаются выражения, содержащие одни и теже объекты слева и справа от $=$. Например $d*e*f=b*e (=c*d=a*f)$. У меня не получается считать, что $d*e*f=b*e$ задает взаимодействие трех объектов $d*e*f$. Это конечно ваше право.

tolstopuz писал(а):

Я до сих пор не понял, что именно в точности вы называете "набором систем". Пока из ваших слов получается, что двухполярная лока 7 Ленского - это тоже не "система", а "набор систем". Правильно?

Предложите свое понимание терминов набор систем и единая система. Я, кстати, не припоминаю, встречал ли формальный критерий различия где-то.
В моем представлении двухполярная лока 7 как раз система а не набор систем.
Вобщем, давайте ваши определения, а потом будем согласовывать.

Относительно алгебры. Пока пользуюсь иной логикой построения. Берем изначально группу из двух элементов и операции умножения $A*A=A,A*B=B,B*B=A$. $A$ - нейтральный элемент относительно $*$. Рассмотрим еще одну операцию над теми же элементами - $+$. Для этого, кажется, вынуждены будем добавить и новый нейтральный элемент $0$. Добавляем законы $A+B=0,A*0=B*0=0$. Получаем некое ядро отношений, как у целых чисел. Дальше можем разрешить либо запретить количество в модели. Либо $A+A=2A,B+B=2B$, либо $A+A=B,B+B=A$. Во втором случае получим локу3 по сложению. Закон дистрибутивности получается уместен.
Таким образом получается понятие $0$ как нейтрального элемента.
Такой же логикой можно добавить еще операции и нейтральные элементы. Получить "расширенную алгебру" не с двумя операциями а с тремя, и более.
Например, для скорости света $c$ должно быть $c \oplus c=c$, тоесть есть еще один нейтральный элемент и еще один вид взаимодействия. Кроме тех, что есть в алгебре чисел.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

В таком определении законов встречаются выражения, содержащие одни и теже объекты слева и справа от $=$. Например $d*e*f=b*e (=c*d=a*f)$. У меня не получается считать, что $d*e*f=b*e$ задает взаимодействие трех объектов $d*e*f$

Почему? Это противоречит какой-либо из аксиом?

STilda писал(а):

Предложите свое понимание терминов набор систем и единая система.

У меня нет понимания ваших "систем". Я пытаюсь из ваших размытых и неоднозначных определений и аксиом вычленить какое-то понимание, но каждый раз не получается. В этом и заключается отличие вашей теории от математики - у вас определения и аксиомы всегда недосказаны, чтобы можно было в нужный момент повернуть их, как удобнее.

STilda писал(а):

В моем представлении двухполярная лока 7 как раз система а не набор систем.

А ничего, что в ней $a*b*d=c*d$? Вы выше сказали, что у вас не получается считать это взаимодействием трех объектов.

STilda писал(а):

Добавляем законы $A+B=0,A*0=B*0=0$.

После этого добавления ваше множество перестало быть группой по умножению - у элемента $0$ нет обратного.

STilda писал(а):

Дальше можем разрешить либо запретить количество в модели. Либо $A+A=2A,B+B=2B$

У вас нет элемента $2A$.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

У меня нет понимания ваших "систем". Я пытаюсь из ваших размытых и неоднозначных определений и аксиом вычленить какое-то понимание, но каждый раз не получается.

Так речь не про "мои системы"!. Я прошу вас дать ваше понимание отличия набора систем и системы, набора групп и группы, набора теорий и одной теории, набора из двух систем действительных чисел, и связанных их в одну систему, набора двух систем аксиом и единой системы аксиом. Это в многополярностб никак не упирается. Вы можете дать свои предложения по этому вопросу?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Я прошу вас дать ваше понимание отличия набора систем и системы, набора групп и группы, набора теорий и одной теории, набора из двух систем действительных чисел, и связанных их в одну систему, набора двух систем аксиом и единой системы аксиом.

Легче всего ответить про группу. Группа - множество, на котором задана бинарная операция, удовлетворяющая аксиомам. Набор групп - несколько множеств, на каждом из которых задано по бинарной операции, удовлетворяющей аксиомам.

[tolstopuz]

В теории графов, кстати, говорят "граф имеет две компоненты связности", а не "это не граф, а набор двух не связанных графов". А разгадка проста - у них есть определение графа, и нельзя сказать "это не граф" про объект, удовлетворяющий определению. У вас же определения "системы" нет, отсюда и душевные метания.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

В моем представлении двухполярная лока 7 как раз система а не набор систем.

А ничего, что в ней $a*b*d=c*d$? Вы выше сказали, что у вас не получается считать это взаимодействием трех объектов.

Разница в том, что в вашем примере, если взаимодействуют три, то всегда справа и слева от $=$ буду повторятся объекты. Для меня это все равно, что задавать операцию как $a*b=a*b$. Да, это верное равенство, да, это не противоречит аксиомам. Но это не может считаться законом модели. Вы ведь операцию группы таким способом не задаете.
В двухполярной локе 7, кроме $a*b*d=c*d$ (это не определение взаимодействия трех), выполняется и $a*b*d=c*e*f$ (это определение).

tolstopuz писал(а):

В теории графов, кстати, говорят "граф имеет две компоненты связности", а не "это не граф, а набор двух не связанных графов". А разгадка проста - у них есть определение графа, и нельзя сказать "это не граф" про объект, удовлетворяющий определению. У вас же определения "системы" нет, отсюда и душевные метания.

Понимаете, на уровне определений можно все что угодно. Дал определение и готово. Все счастливы. Но есть еще более реальная сторона дела. Бывает, что на листе бумаги нарисовано два рисунка, а бывает, что один. А бывает, что рисунок недорисованный. Есть же такие понятия в восприятии действительности? И когда вы будете недорисованый рисунок (либо два рисунка), по определению, называть законченным (либо одним) рисунком, вы заужаете возможности абстрактного отображать действительное. И вообще, обычный человек посчитает вас неадекватным. Конечно, вы можете оговорить некий принцип общности, при котором два рисунка станут одним. Но этим вы подменяете понятие системы как рисунка, понятием системы как принципы общности.

tolstopuz писал(а):

После этого добавления ваше множество перестало быть группой по умножению - у элемента $0$ нет обратного.

Да да. У меня группа по сложению шире. А внутри нее группа по умножению.

Вообще логика такая. Например группы. В группах появляются три понятия: нейтрального элемента, "прямого" элемента и противоположного элемента. Сколько б не было в группе элементов, с точки зрения их качества есть только три этих понятия. Таким образом размер группы меняется за счет понятия количества а не качества. Что будет, если мы захотим добавлять сами понятия? Вот я хочу 5 понятий-качеств в структуре. Какие отношения будут между этими понятиями? Эти отношения я и называю ядром. К нему можно пришивать количество.

[AD]

STilda писал(а):

В группах появляются три понятия: нейтрального элемента, "прямого" элемента и противоположного элемента. Сколько б не было в группе элементов, с точки зрения их качества есть только три этих понятия.

Что вы имеете в виду - "качество элемента"? Каждый элемент является одновременно и "прямым", и "противоположным" к некоторому, и причем может быть достаточно много элементов, обратных самим себе.

На какую мысль вы меня навели: вот в школе учителя часто так делают: пишут на доске

$$-a$$

и спрашивают, "это положительное число или отрицательное"?
Разумеется, правильный ответ "не знаю", но ученики до некоторого возраста обычно отвечают, что "отрицательное".
Так что бывают разные плюсы и минусы. Тот минус, который в записи "$-1$", и тот, который в записи "$-x$" - разные. Первый можно назвать "качеством", а второй - это скорее взаимоотношение.
Все вышесказанное дословно переносится на группы.

Цитата:

И когда вы будете недорисованый рисунок (либо два рисунка), по определению, называть законченным (либо одним) рисунком, вы заужаете возможности абстрактного отображать действительное.

Ну вот мы и вводим понятие листа бумаги, и то, что на нем нарисовано, называем рисунком. А потом рассматриваем его свойства: законченность, связность (т.е. количество, так сказать, подрисунков), эстетическая привлекательность, итп. Заужения я тут не вижу, по-моему, это всё лишь лингвистические тонкости.


В остальное обсуждение я так особо не въезжаю пока, но общие слова говорить умею

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Да, это верное равенство, да, это не противоречит аксиомам. Но это не может считаться законом модели.

Вы при игре в шахматы тоже говорите "да, этот ход не противоречит правилам, но вы не можете делать его, потому что он мне не нравится"?

STilda писал(а):

Вы ведь операцию группы таким способом не задаете.

Возьмите определение операции и проверьте, задаю или не задаю.

STilda писал(а):

В двухполярной локе 7, кроме $a*b*d=c*d$ (это не определение взаимодействия трех), выполняется и $a*b*d=c*e*f$ (это определение).

Мы, кстати, подошли еще к одной проблеме, которая плохо освещена вами и Ленским. У вас $a*b*d = c*e*f$, но из $a*b = c$, по аксиоме пятой ("Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей") следует $a*b*d = c*d$. То есть у нас есть два разных варианта соответствия для $a*b*d$. Так, оказывается, тоже можно? А как же тогда быть с взаимодействием химических веществ и элементарных частиц?

Кстати, у Ленского есть гораздо более простой пример того, что вы называете "не одной, а несколькими системами". Это трехполярная лока 2.
(И опять возникает вопрос, почему в ней Ленский спокойно оставил объекты без взаимодействия, а двухполярной локе 3 не захотел.)

STilda писал(а):

Понимаете, на уровне определений можно все что угодно. Дал определение и готово. Все счастливы. Но есть еще более реальная сторона дела. Бывает, что на листе бумаги нарисовано два рисунка, а бывает, что один. А бывает, что рисунок недорисованный. Есть же такие понятия в восприятии действительности? И когда вы будете недорисованый рисунок (либо два рисунка), по определению, называть законченным (либо одним) рисунком, вы заужаете возможности абстрактного отображать действительное. И вообще, обычный человек посчитает вас неадекватным.

Потрясающая смесь демагогии и наивности. Прямо как в "Письме к ученому соседу" Чехова. Вы подменили "законченность" рисунка связностью, в результате чего у вас домик без крыши стал законченным рисунком, а две собачки - незаконченным.

Большинство теорем теории графов работают не только для связных, но и для произвольных графов. Если словом "граф" называть, как вы предлагаете, только связный граф, то это как раз заузит область применимости теории и сделает ее неудобной. Это ограничение немотивированное и искусственное, так же как и ваши туманные претензии к "взаимодействию".

STilda писал(а):

Конечно, вы можете оговорить некий принцип общности, при котором два рисунка станут одним. Но этим вы подменяете понятие системы как рисунка, понятием системы как принципы общности.

Нет вообще никакого "принципа общности", это ваши фантазии. Есть определение графа. И все.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

После этого добавления ваше множество перестало быть группой по умножению - у элемента $0$ нет обратного.

Да да. У меня группа по сложению шире. А внутри нее группа по умножению.

Правильно, так и должно быть. Просто "расширять" группу, чтобы она перестала быть группой - это нелогичный и долгий путь. Понятие группового кольца в математике гораздо проще.

STilda писал(а):

Вообще логика такая. Например группы. В группах появляются три понятия: нейтрального элемента, "прямого" элемента и противоположного элемента. Сколько б не было в группе элементов, с точки зрения их качества есть только три этих понятия.

Ровно то же самое рассуждение применимо к взаимодействиям ("одной или нескольким взаимодействующим полярностям") в любой локе: нейтральное взаимодействие $E$, "прямое" взаимодействие, например, $E$ или $a(=b*c*d)$ или $a*b(=c*d)$ или $a*b*c(=d)$ в двухполярной локе 5, и противоположное ему взаимодействие, соответственно, $E$, $b*c*d(=a)$, $c*d(=a*b)$ и $d(=a*b*c)$ в той же локе. Сколько бы ни было в локе элементов и их взаимодействий, с точки зрения их качества есть только три этих понятия. Более того, как видите, в комбинациях двухполярных лок каждое взаимодействие противоположно самому себе, так же как и в произведении групп порядка 2 каждый элемент обратен самому себе.

Все ваши пять элементов и три неэквивалентных им взаимодействия двухполярной локи 5 отлично описываются произведением трех экземпляров группы из двух элементов.

STilda писал(а):

К нему можно пришивать количество.

Вы уже придумали, чему в алгебре над двухполярной локой 5 равно $5a*3b$?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Да, это верное равенство, да, это не противоречит аксиомам. Но это не может считаться законом модели.

Вы при игре в шахматы тоже говорите "да, этот ход не противоречит правилам, но вы не можете делать его, потому что он мне не нравится"?

Можете, делайте. Разница есть. Если вы ее видите, но не признаете как существенную, дело ваше. На этом и остановимся, я больше ничего не могу добавить. Подправьте акиомы так, чтобы было нельзя так, как вы предлагаете.

tolstopuz писал(а):

Мы, кстати, подошли еще к одной проблеме, которая плохо освещена вами и Ленским. У вас $a*b*d = c*e*f$, но из $a*b = c$, по аксиоме пятой ("Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей") следует $a*b*d = c*d$. То есть у нас есть два разных варианта соответствия для $a*b*d$. Так, оказывается, тоже можно? А как же тогда быть с взаимодействием химических веществ и элементарных частиц?

А что в этом плохого? Нормально же, что $20=2*10=5*4$, либо, что в некоей циклической группе с образующим $a$ получим $c*d=(a^2)*(a^5)=a^7=(a^3)*(a^1)*(a^4)=s*a*p$
При взаимодействии химических веществ (элементарных частиц), это означает, что химическое вещество (элементарная частица) $d$ во взаимодействии участия не брала, так сказать осталась "не при делах", провзаимодействовали только $a$ и $b$ и дали $c$.

tolstopuz писал(а):

Кстати, у Ленского есть гораздо более простой пример того, что вы называете "не одной, а несколькими системами". Это трехполярная лока 2.
(И опять возникает вопрос, почему в ней Ленский спокойно оставил объекты без взаимодействия, а двухполярной локе 3 не захотел.)

Речь про то, что с такими начальными данными не возможно непротиворечиво задать их взаимодействие. Тоесть систему образовать невозможно. Если вы, в рамках аксиом, сможете задать это взаимодействие - просим-с.

tolstopuz писал(а):

Ровно то же самое рассуждение применимо к взаимодействиям ("одной или нескольким взаимодействующим полярностям") в любой локе:
...
Сколько бы ни было в локе элементов и их взаимодействий, с точки зрения их качества есть только три этих понятия.

Да ну?. А какже качества $a$ и $b$? Они совпадают? Может одно есть противоположным для другого? Может одно есть нейтральным для другого?
Вообще группы и локи до определенного момента - одно и тоже. Так что, вот тут

Цитата:

Вообще логика такая. Например группы. В группах появляются три понятия: нейтрального элемента, "прямого" элемента и противоположного элемента. Сколько б не было в группе элементов, с точки зрения их качества есть только три этих понятия. Таким образом размер группы меняется за счет понятия количества а не качества. Что будет, если мы захотим добавлять сами понятия? Вот я хочу 5 понятий-качеств в структуре. Какие отношения будут между этими понятиями?

я не хотел отделять группу и локу. Тут я хотел акцентироваться, что на группу смотрим через призму качественных отношений вида: прямой, обратный, нейтральный. Поэтому выпала иная логика/интерпретация элементов группы.

tolstopuz писал(а):

Все ваши пять элементов и три неэквивалентных им взаимодействия двухполярной локи 5 отлично описываются произведением трех экземпляров группы из двух элементов.

Пусть будет. Не помешает ).

tolstopuz писал(а):

Вы уже придумали, чему в алгебре над двухполярной локой 5 равно $5a*3b$?

Зависит, кажется от законов по сложению. Возможно и $15*c*d$.
По сложению кажется возможно либо $a+b+c+d=0$ либо $a+b=c+d=0$ (пары произвольны). $E$ фигурировать при компенсации не может, если я не обшибился ). Вообще, пока что алгеброй не занимаюсь.

С AD и tolstopuz по поводу собачек графов и художеств частично согласен, частично ваши ответы - уход от нюанса, который я хотел показать. Продолжать не будем.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

AD писал(а):

Что вы имеете в виду - "качество элемента"?

Качество проявляется только в процессе взаимодействий с другими качествами (включая самое себя).