Среднее гармоническое (планиметрия)

[Ivan P]

Для третьего равенства нужно показать, что $ AC=EB+BC $ .
Действительно, если отложить от точка С отрезок CB', равный CB, то из равенства треугольников и свойства равнобедренного получим $ AC=AB'+B'C=B'E+BC=EB+BC $ .
Таким образом,
$ AB^2 - BC^2 = AB^2 - (AC-AD)AC = AB^2 - AC^2+AD*AC = AB^2 - AC^2+BD*AC = AB^2 - AB*AE+AB*BC = AB(BE+BC) = AB*AC$

[_Ivana]

Справедливость ваших выкладок не проверял, но из моего совета в предыдущем посте нужное равенство следует сразу и в одну строчку, как соотношение сторон в подобных треугольниках. Теперь, когда у вас есть ваше громоздкое решение, можете все-таки попробовать то, что я вам предложил.

[Legioner93]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #875428 писал(а):

Legioner93 в сообщении #875317 писал(а):

Лично я насчитал одну тройку попарно подобных между собой

Четвёрку.

Какой у вас ещё к $\Delta ABC, \Delta BOC, \Delta BDC$?

[_Ivana]

(Оффтоп)

Я, конечно, не Munin, но как минимум $ACE$

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #875430 писал(а):

Но если не останавливаться на достигнутом, то

можно объяснить, почему так всё красиво получается. Дело в том, что $a^2$, $b^2$, $c^2$ --- корни одного кубического уравнения с циклической группой Галуа. Поэтому из равенства (1) остальные равенства (2), (3) получаются именно циклической перестановкой $a$, $b$, $c$.

Кстати, треугольник $ABC$ известен как контрпример к одной правдоподобной гипотезе (см. задачу М2001 в журнале "Квант").

[Ivan P]

Спасибо всем большое за ответы!

[Legioner93]

(Оффтоп)

_Ivana
Да, точно, не заметил я его:)

[Ivan P]

nnosipov в сообщении #875563 писал(а):

Кстати, треугольник $ABC$ известен как контрпример к одной правдоподобной гипотезе (см. задачу М2001 в журнале "Квант").

Если я правильно понял, то эта задача
$ AA', BB' $и $CC'$ — биссектрисы треугольника $ABC$. Величины углов $A, B$ и $C$ относятся как $4 : 2 : 1$. Докажите равенство $A'B' = A'C'$.

А какая гипотеза имеется в виду?

[nnosipov]

Ivan P в сообщении #875727 писал(а):

А какая гипотеза имеется в виду?

Гипотеза была такой: если треугольник $A'B'C'$ равнобедренный, то треугольник $ABC$ тоже.