Относительность для чайников

[telik]

Sicker в сообщении #873367 писал(а):

(Оффтоп)

цирк, да и только

Согласен

[Nemiroff]

telik в сообщении #873364 писал(а):

вы верите световой ЭЛЛИПСОИД?

Больше скажу, я верую в световой ЭЛЛИПСОИД, СЛАВА ЭЛЛИПСОИДУ!

Пора балаган-то прикрывать.

[rustot]

в одной исо есть сфера, всех точек которой свет достиг одновременно. если наблюдатель пометит точки этой сферы флажками, то в другой исо эти флажки образуют эллипсоид. но в этой исо свет достигает этих флажков не одновременно, в другой исо одновременные события становятся последовательными

telik в сообщении #872813 писал(а):

Из эффекта замедления времени можно получить все релятивистские формулы, включая интервал в пространстве-времени.

вы можете это продемонстрировать на практике?

$t' = \gamma t - (\gamma - 1/\gamma) \frac{x}{v}$ в частном случае $x = v t$ урезается до $t'=t/\gamma$

как вы можете из частного случая в обратном порядке вывести общий? из отсутствия зависимости времени от координат вывести такую зависимость? в вашем выводе неизбежно окажутся не обоснованные "замедлением времени" утверждения

[Munin]

rustot в сообщении #874782 писал(а):

если наблюдатель пометит точки этой сферы флажками, то в другой исо эти флажки образуют эллипсоид.

Причём другой, чем тот, о котором шла речь.

[telik]

rustot в сообщении #874782 писал(а):

в одной исо есть сфера, всех точек которой свет достиг одновременно. если наблюдатель пометит точки этой сферы флажками, то в другой исо эти флажки образуют эллипсоид.

В другой системе отсчета тоже будет световая сфера, согласно второму постулату Эйнштейна:

$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}\chi^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2} -\gamma ^{2}$=0

rustot в сообщении #874782 писал(а):

$t' = \gamma t - (\gamma - 1/\gamma) \frac{x}{v}$ в частном случае $x = v t$ урезается до $t'=t/\gamma$

как вы можете из частного случая в обратном порядке вывести общий? из отсутствия зависимости времени от координат вывести такую зависимость? в вашем выводе неизбежно окажутся не обоснованные "замедлением времени" утверждения

Рассмотрим выражение:

$$\Delta \tau =\Delta t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\Delta t\cdot \frac{(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})}{\sqrt{1-\frac{v^{^{2}}}{c^{2}}}}$$

Нам необходимо определить зависимость времени от координаты:Для равномерного прямолинейного движения.

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

Откуда координатная зависимость времени:

$$\Delta \tau =\frac{\Delta t-\frac{\Delta X V}{C^{2}}}{\sqrt{1-\frac{V^{^{2}}}{C^{2}}}}$$

или для равномерного прямолинейного движения(преобразование Лоренца для времени):

$$\tau =\frac{ t-\frac{X V}{C^{2}}}{\sqrt{1-\frac{V^{^{2}}}{C^{2}}}}+const $$

Более того, Я скажу что преобразования Лоренца это частный случай справедливый для равномерного прямолинейного движения.

Зато формула замедления времени имеет более общий характер:

$$\Delta \tau =\Delta t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

Именно это выражение справедливо как в инерциальных системах отсчета, так и в неинерциальных.

[Munin]

telik в сообщении #874831 писал(а):

В другой системе отсчета тоже будет световая сфера, согласно второму постулату Эйнштейна:

$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}\chi^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2} -\gamma ^{2}$=0

Откройте уже учебник по математике, и уясните, что это конус.

[Nirowulf]

telik в сообщении #874831 писал(а):

Зато формула замедления времени имеет более общий характер:

$$\Delta \tau =\Delta t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

Именно это выражение справедливо как в инерциальных системах отсчета, так и в неинерциальных.

Интересно, а понимаете ли вы, почему это так и откуда это берётся?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #874888 писал(а):

Откройте уже учебник по математике, и уясните, что это конус.

У меня с коллегой состоялся некий терминологический спор по этому поводу. Он стоял на позиции, что надо называть сферой всё, что определяется уравнением $-$ расстояние есть константа, неважно в какой метрике. С этой точки зрения световой конус следует называть "сферой". Но это никак не меняет того факта, будет эллипсоид.

[Someone]

Nirowulf в сообщении #874971 писал(а):

У меня с коллегой состоялся некий терминологический спор по этому поводу. Он стоял на позиции, что надо называть сферой всё, что определяется уравнением $-$ расстояние есть константа, неважно в какой метрике.

Вообще-то, интервал в СТО — не метрика в топологическом смысле, поскольку никакими свойствами метрики, кроме симметрии, не обладает. Поэтому называть множество "интервал равен константе" сферой нет никаких оснований.
Другое дело, что термины в разных ситуациях могут иметь разный смысл, и в СТО интервал называют "метрикой", что провоцирует употребление термина "сфера" в сильно расширенном смысле. Расширенном настолько, что уже хочется назвать сферой и множество точек, на котором некая совершенно произвольная функция принимает постоянное значение.
Однако мы имеем дело с гуру, жаждущим вывести заблудших физиков из мрака к свету истины, и не стоит сбивать его с толку терминологическими вольностями. Он и так в трёх соснах заблудился.

[Munin]

Someone в сообщении #875028 писал(а):

Вообще-то, интервал в СТО — не метрика в топологическом смысле, поскольку никакими свойствами метрики, кроме симметрии, не обладает. Поэтому называть множество "интервал равен константе" сферой нет никаких оснований.

Нет никаких топологических оснований. Однако это множество обладает красивыми симметриями, на нём как на многообразии можно ввести геометрию, и вообще развлекаться долго.

Someone в сообщении #875028 писал(а):

и в СТО интервал называют "метрикой"

Педанты - псевдометрикой. Все остальные помнят об этом нюансе.

[Someone]

Munin в сообщении #875043 писал(а):

Нет никаких топологических оснований. Однако это множество обладает красивыми симметриями, на нём как на многообразии можно ввести геометрию, и вообще развлекаться долго.

Безусловно, развлекаться можно очень долго. Уже больше ста лет множество людей развлекается. Однако топология на пространстве Минковского определяется всё-таки метрикой в обычном топологическом смысле, а "псевдоевклидова метрика" является дополнительной структурой, используемой для описания физических явлений. И я не вижу здесь серьёзных оснований называть сферой конус или пару гиперболоидов. Разумеется, как математик я допускаю возможность использовать любое слово в любом смысле, если этот смысл определён. Если Вам позарез хочется называть конус сферой — ради бога, только своевременно предупреждайте меня.

Кстати, топик-стартер, как я понял, никакого конуса (в четырёхмерном пространстве-времени) не видит, а под световой сферой подразумевает положение фронта световой волны от точечного источника в некоторый момент времени (по часам ИСО). И уравнение светового конуса он, соответственно, воспринимает как уравнение сферы, радиус которой зависит от времени. Поэтому возникший в последних сообщениях терминологический спор в этой теме вообще неуместен.

[Munin]

Someone в сообщении #875055 писал(а):

Однако топология на пространстве Минковского определяется всё-таки метрикой в обычном топологическом смысле

Да, это важное замечание, и на псевдоримановом многообразии ОТО - тоже.

Someone в сообщении #875055 писал(а):

И я не вижу здесь серьёзных оснований называть сферой конус или пару гиперболоидов.

Ну, так же мы вообще без сферы останемся :-) А наличие формул, аналогичных формулам сферической геометрии, так провоцирует... В общем, те же педанты называют пару гиперболоидов псевдосферой. Насчёт конуса - я сам впервые столкнулся с таким употреблением слов, хотя оно мне нравится.

Someone в сообщении #875055 писал(а):

Кстати, топик-стартер, как я понял, никакого конуса (в четырёхмерном пространстве-времени) не видит

Дык!

Я уверен, он и учебников-то не читал. По Википедии ориентируется.

Someone в сообщении #875055 писал(а):

Поэтому возникший в последних сообщениях терминологический спор в этой теме вообще неуместен.

Я не увидел никакого спора. Так забавные замечания в сторону.

[rustot]

telik в сообщении #874831 писал(а):

Откуда координатная зависимость времени

это не координатная зависимость, это по прежнему все тот же частный случай единственного тела, вы лишь выразили его координату через время. выведите что тело отстающее от первого на метр имеет другое текущее время

[telik]

rustot в сообщении #875080 писал(а):

это не координатная зависимость, это по прежнему все тот же частный случай единственного тела, вы лишь выразили его координату через время. выведите что тело отстающее от первого на метр имеет другое текущее время

Как вы не поймете, в мире нет идеальных инерциальных систем отсчета. СТО хорошее приближение к реальности. Но. Везде должны рассматривать процессы локально, а значит преобразования Лоренца, как структура не локальная.
Более общий принцип ковариантности должен рассматриваться в неинерциальных системах. Поэтому ОТО должна формулируется как система дифферциальных уранений.

-- 15.06.2014, 18:22 --

Munin в сообщении #874888 писал(а):

telik в сообщении #874831 писал(а):

В другой системе отсчета тоже будет световая сфера, согласно второму постулату Эйнштейна:

$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}\chi^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2} -\gamma ^{2}$=0

Откройте уже учебник по математике, и уясните, что это конус.

Интервал света в пространстве-времени Минковского:



Соответствует уравнению светового конуса:



В гиперплоскости r=ct=const, световая сфера:

[Someone]

telik в сообщении #875649 писал(а):

Соответствует уравнению светового конуса:

Изображение

В гиперплоскости r=ct=const, световая сфера:

Изображение

Зачем Вы вставляете картинки вместо формул? Коды формул надо писать прямо в тексте, выделяя их знаками доллара (двойными, если формула выносится в отдельную строку и центрируется). Исправленная цитата:

telik в сообщении #875649 писал(а):

Соответствует уравнению светового конуса:

$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0$

В гиперплоскости $r=ct=\mathrm{const}$, световая сфера:

$x^2+y^2+z^2=r^2$

Замечательно. Таким образом, "световая сфера" в ИСО, которую мы условно будем называть неподвижной, определяется системой уравнений

$$\displaystyle\begin{cases}t=\frac rc,\\ x^2+y^2+z^2=r^2.\end{cases}\eqno(1)$$

("По умолчанию" предполагается, что речь идёт о "мгновенной" световой вспышке в начале координат $x=y=z=0$ в момент времени $t=0$.)
Теперь можно посмотреть, во что превращается эта сфера для наблюдателя в движущейся ИСО. "По традиции" считаем, что скорость её равна $v$ и направлена параллельно оси $Ox$, что пространственные оси координат движущейся системы $O'x'y'z't'$ параллельны пространственным осям неподвижной системы $Oxyzt$, и что начала координат $O$ и $O'$ совпадают. Тогда преобразования Лоренца имеют вид

$$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\qquad y=y',\qquad z=z',\qquad t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\eqno(2)$$

Подставим (2) в (1):

$$\begin{cases}\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac rc,\\ \left(\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2+y'^2+z'^2=r^2.\end{cases}\eqno(3)$$

Чтобы понять, как "выглядит" наша сфера для движущегося наблюдателя, выразим из первого уравнения (3) $x'$:

$$x'=\frac{c^2}v\left(\frac rc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-t'\right),\eqno(4)$$

$$x'+vt'=\frac{cr}v\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{c^2}vt'+vt'=\frac{c^2}v\left(\frac rc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-t'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\right),$$

откуда

$$\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{c^2}v\left(\frac rc-t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right).$$

Подставим последнее выражение во второе уравнение (3):

$$\frac{c^4}{v^2}\left(\frac rc-t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2+y'^2+z'^2=r^2.$$

В результате получаем систему

$$\begin{cases}x'=\frac{c^2}v\left(\frac rc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-t'\right),\\ y'^2+z'^2=r^2-\frac{c^4}{v^2}\left(\frac rc-t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2,\end{cases}\eqno(5)$$

которая описывает, как выглядит в движущейся ИСО "световая сфера" (1), определённая в неподвижной ИСО.
Правая часть второго уравнения системы (5) обращается в ноль в точках

$$t'_{1,2}=\frac{\frac rc\left(1\pm\frac vc\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$

то есть,

$$t'_1=\frac rc\sqrt{\frac{1-\frac vc}{1+\frac vc}},\qquad t'_2=\frac rc\sqrt{\frac{1+\frac vc}{1-\frac vc}}.\eqno(6)$$

Подставляя эти значения в формулу (4), найдём соответствующие точки

$$x'_1=r\sqrt{\frac{1-\frac vc}{1+\frac vc}},\qquad x'_2=-r\sqrt{\frac{1+\frac vc}{1-\frac vc}}.\eqno(7)$$

В промежутке $t'_1<t'<t'_2$ система (5) определяет окружность в плоскости, определяемой первым уравнением, с центром на оси $O'x'$. Этот центр движется со сверхсветовой скоростью $V=\frac{c^2}v$ от точки $x'_1$ до точки $x'_2$; при этом радиус окружности возрастает от $0$ до максимального значения, равного $r$ (в момент $t'=\frac 12(t'_1+t'_2)$), затем убывает до $0$.
Таким образом, то, что в неподвижной ИСО является "световой сферой" (1), в движущейся ИСО выглядит как окружность (5), которая возникает с нулевым радиусом, затем, двигаясь со сверхсветовой скорость, расширяется до максимального радиуса, потом сжимается до нулевого радиуса и исчезает.
Какую же поверхность заметает эта окружность? Неужели сферу?
Чтобы это выяснить, нужно исключить из системы (3) координату $t'$. Для этого надо выразить $t'$ из первого уравнения системы (3) и подставить во второе. После несложных преобразований уравнение приводится к виду

$$\frac{\left(x'+\frac{\frac{vr}c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2}{\left(\frac r{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2}+\frac{y'^2}{r^2}+\frac{z'^2}{r^2}=1;\eqno(8)$$

это уравнение описывает вытянутый эллипсоид вращения.

[Munin]

Я же это всё ему писал уже. Оказалось бесполезно.