Вопрос по корневому разложению

[vlitomsk]

Здравствуйте!
Разбираю теорему о корневом разложении векторного пространства, написано, что $\{0\} \subseteq \operatorname{Ker}(A-\lambda E) \subseteq \operatorname{Ker}(A-\lambda E)^2 \subseteq \ldots$
Откуда это берется, не могу понять. ($A$ — линейный оператор $V \rightarrow V$, \lambda — корень характерестического многочлена $A$)
Помогите, пожалуйста

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

vlitomsk
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, ссылку на картинку сносите.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[ewert]

vlitomsk в сообщении #874826 писал(а):

$\{0\} \subseteq \operatorname{Ker}(A-\lambda E) \subseteq \operatorname{Ker}(A-\lambda E)^2 \subseteq \ldots$
Откуда это берется, не могу понять.

Что такое $\operatorname{Ker}$ ?

[vlitomsk]

ewert
Ядро линейного отображения. По-хорошему, должно быть $\operatorname{Ker}(A-\lambda \varepsilon)$, где $\varepsilon$ — единичный оператор.
Я позодреваю , что это выражение верно, потому что:
Взяли векторное пространство, применили к нему $A-\lambda \varepsilon$, набор векторов $\mathbf{0, v_1, \ldots, v_n}$ (возможно) ушел в ноль.
Если мы применили к пространству $(A-\lambda \varepsilon)^2$, то в ноль ушел тот набор векторов после первого применения оператора, и (возможно) еще несколько векторов.
Ну и так далее.
Верны ли мои подозрения?

[Otta]

Не надо подозревать. Как доказывать, что одно множество (подпространство) лежит в другом?
Вот выпишите и в лоб. Там делать неча.

[vlitomsk]

Otta
Ой, затупил
$\operatorname{Ker}(A-\lambda \varepsilon) = \{ \mathbf{v} | (A - \lambda \varepsilon) \mathfb{v} = 0 \}$
$\operatorname{Ker}(A-\lambda \varepsilon)^2 = \{ \mathbf{v} | (A - \lambda \varepsilon)^2 \mathfb{v} = 0 \}$ — очевидно, что первое -- его подмножество

(Оффтоп)

Зато в TeX поигрался :)