Теория вероятности

[Rubik]

Есть задачка, решение которой вызывает затруднение:

Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из ко-
торых выигрыш происходит с вероятностью $p$. Когда игрок выигрывает,
он получает 1 доллар, а когда проигрывает — платит 1 доллар. Как только
его капитал достигает величины $N$ долларов, он объявляется победителем и
удаляется из казино. Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно
проиграет все деньги, в зависимости от его стартового капитала $K$.

У меня была такая идея: посчитать отдельно вероятности того, что игрок проиграет все деньги за $K$ ходов (проиграет K раз), за $K+2$ ходов (проиграет $K+1$ и выиграет 1 раз) и т. д. Вероятность, что он проиграет за $K$ ходов равно $(1-p)^K$, это возможно только при одном варианте развития событий: последовательный проигрыш $K$ раз. Есть несколько вариантов того, как он может проиграть свои деньги за $K+2$ хода, вероятность каждого из них равна $p(1-p)^{K+1}$. В общем случае он может проиграть свои деньги за $K+2M$ хода несколькими вариантами, вероятность каждого из которых равно $p^M(1-p)^{K+M}$. Однако, я не знаю, как посчитать количество вариантов того, каким образом можно проиграть за определённое количество ходов.

Возможно, есть другой, более простой путь для решения задачи.

Прошу помочь с решением. Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Можно считать, конечно, но вообще это известная задача. Случайное блуждание на прямой с двумя поглощающими экранами. Не смотрели?