Свойства меры

[DuNi4ka]

Подскажите, пожалуйста, тождество $\mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A \cap B)$ идет как аксиома, и им можно свободно пользоваться, или это еще необходимо доказывать?
У меня просто в задаче такой случай с тремя множествами, аналогичное тождество легко получается, исходя из указанного тождества с двумя множествами. Вот меня и смущает отправная точка: могу ли я спокойно этим пользоваться без доказательства?

[Brukvalub]

Обычно это тождество не включают в число аксиом, а доказывают. Но всякое может быть - стоит посмотреть список аксиом, который использовался именно в Вашем курсе обучения.

[PAV]

Мне кажется, что это всегда доказывается. Аксиомой берут только аддитивность по непересекающимся множествам.

[oHag]

Во, товарищи, может подскажете. Задача доказать для любых А, В и С из некоторой алгебры с конечной аддитивной мерой соотношение
$\mu(A \Delta B) \leqslant \mu (A \Delta C)-\mu (A \cap B)$
Вообще, это тождество имеет смысл? Для любых элементов А, В, С, независимо от того, какие они... А то у меня что-то дальше $\mu(A \Delta B) + \mu (A \cap B) \leqslant \mu (A \Delta C)$, тогда $\mu(A\cup B) \leqslant \mu (A \Delta C)-$ дальше не идет а это ерунда какая-то. Много элементов (целых три) и в тождестве только три составляющих, причем даже не попарных операций. С чего начать, ума не приложу. Помогите, а?

[Brukvalub]

oHag писал(а):

Во, товарищи, может подскажете. Задача доказать для любых А, В и С из некоторой алгебры с конечной аддитивной мерой соотношение
$\mu(A \Delta B) \leqslant \mu (A \Delta C)-\mu (A \cap B)$

Это неравенство неверно.

[NRM]

Проверьте, пожалуйста, ход моих рассуждений по задаче:
Задано множество X = [-3, 8[, на нем S = {[a, b[ из Х} и мера m([a, b[) = F(b) - F(a), где F - ступенчатая функция. Упоминается также, что $\mu$ - продолжение этой меры по Лебегу.
Требуется: 1) определить меру произвольного одноточечного множества из Х; 2) выяснить, являются ли пара заданных множеств измеримыми и найти их меру; 3) описать все измеримые множества и найти меру произвольного измеримого множества.
По поводу первого я так понимаю, что для одноточечного множества, являющегося внутренней точкой каждой из заданных "ступенек" F, мера равна нулю, а для граничных точек "ступенек" (где в одной есть, а в другой нет включения), мера одноточечного множества будет равна разности соседних величин "ступенек".
Для определения измеримости заданных множеств я использую равенство m(A) + m(X\A) = m(X), и представляю нужные множества в виде объединения полуинтервалов вида [a, b[ и одноточечных множеств, и использую результаты 1).
Тут у меня такой вопрос еще (возник, по-видимому, из-за опечатки в условии): заданное множество А, которое нужно проверить "на измеримость" ведь должно содержаться в Х? Чтобы на него распространялось лебеговское продолжение меры с S. У меня просто в условии Х = [3, 8[, а найти надо меру множества А = [-2; 7,9], которое в Х не содержится...
И вот что-то с третьим пунктом, я не знаю, что делать. Если я правильно понимаю, то нужно каким-то универсальным образом записать обобщенный вид измеримого множества на Х, чего я как-то не могу сообразить. Хелп!

[Brukvalub]

NRM писал(а):

Задано множество X = [-3, 8[

NRM писал(а):

У меня просто в условии Х = [3, 8[

Вот и понимай, как хочешь. Как говорится, угадай с трёх раз, какое у меня условие

[NRM]

Ну, я и имею в виду, что написано в условии [3, 8[, но тогда я не знаю, как доказать, что множество А = [-2; 7.9[ измеримое, если его кусок выходит за границу Х...

[Brukvalub]

NRM писал(а):

Ну, я и имею в виду, что написано в условии [3, 8[,

Вы бы хоть своё предыдущее сообщение почитали......

[NRM]

Я прекрасно знаю, что писала в предыдущих постах, и объясняю еще раз, что в условии задано множество $ X = [3, 8[$, но я была уверена, что там опечатка и решала задачу для условия $ X=[-3, 8[. Поэтому отталкиваясь от этого, описала ход решения с измененной формулировкой. Неужели непонятно. И про этот возможный недочет с минусом я сказала, как про второстепенную проблему, тогда как Вы, наверное, придравшись к этому моменту, до конца даже не дочитали. А проблема в

NRM писал(а):

3) описать все измеримые множества и найти меру произвольного измеримого множества...
...
Если я правильно понимаю, то нужно каким-то универсальным образом записать обобщенный вид измеримого множества на Х, чего я как-то не могу сообразить.

[Brukvalub]

NRM писал(а):

Вы, наверное, придравшись к этому моменту, до конца даже не дочитали.

Нет, я с детства знаю, что текст кончается после последнего написанного знака, и читать нужно именно до этого места. И я знаю ответ на этот последний вопрос.

[PAV]

Просьба участникам перестать спорить друг с другом. По поводу формулировки разобрались.

[Brukvalub]

Докажите, что, если функция имеет конечное число ступенек (думаю, что Вам задан именно такой случай), то любое подмножество будет измеримым, и его мера будет равна сумме всех скачков функции в тех точках, которые попали в подмножество.

[PAV]

Я бы сказал, что задача в третьем пункте сформулирована не вполне корректно. Ее можно понимать по-разному.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Brukvalub писал(а):

Докажите, что, если функция имеет конечное число ступенек (думаю, что Вам задан именно такой случай), то любое подмножество будет измеримым, и его мера будет равна сумме всех скачков функции в тех точках, которые попали в подмножество.

Согласен.

[NRM]

Извините за некоторую резкость, просто условие меня по жизни напрягает. Если есть какие-то опечатки или что-либо подобное, то именно в моем варианте постоянно.
За подсказку спасибо.