Свойства меры : Анализ-II fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства меры
Сообщение08.11.2007, 00:39 


15/04/07
14
Подскажите, пожалуйста, тождество $\mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A \cap B)$ идет как аксиома, и им можно свободно пользоваться, или это еще необходимо доказывать?
У меня просто в задаче такой случай с тремя множествами, аналогичное тождество легко получается, исходя из указанного тождества с двумя множествами. Вот меня и смущает отправная точка: могу ли я спокойно этим пользоваться без доказательства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2007, 06:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Обычно это тождество не включают в число аксиом, а доказывают. Но всякое может быть - стоит посмотреть список аксиом, который использовался именно в Вашем курсе обучения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2007, 09:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Мне кажется, что это всегда доказывается. Аксиомой берут только аддитивность по непересекающимся множествам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 18:09 


16/04/07
11
Во, товарищи, может подскажете. Задача доказать для любых А, В и С из некоторой алгебры с конечной аддитивной мерой соотношение
$\mu(A \Delta B) \leqslant \mu (A \Delta C)-\mu (A \cap B)$
Вообще, это тождество имеет смысл? Для любых элементов А, В, С, независимо от того, какие они... А то у меня что-то дальше $\mu(A \Delta B) + \mu (A \cap B) \leqslant \mu (A \Delta C)$, тогда $\mu(A\cup B) \leqslant \mu (A \Delta C)-$ дальше не идет :( а это ерунда какая-то. Много элементов (целых три) и в тождестве только три составляющих, причем даже не попарных операций. С чего начать, ума не приложу. Помогите, а?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
oHag писал(а):
Во, товарищи, может подскажете. Задача доказать для любых А, В и С из некоторой алгебры с конечной аддитивной мерой соотношение
$\mu(A \Delta B) \leqslant \mu (A \Delta C)-\mu (A \cap B)$
Это неравенство неверно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 18:34 


07/05/07
6
Проверьте, пожалуйста, ход моих рассуждений по задаче:
Задано множество X = [-3, 8[, на нем S = {[a, b[ из Х} и мера m([a, b[) = F(b) - F(a), где F - ступенчатая функция. Упоминается также, что $\mu$ - продолжение этой меры по Лебегу.
Требуется: 1) определить меру произвольного одноточечного множества из Х; 2) выяснить, являются ли пара заданных множеств измеримыми и найти их меру; 3) описать все измеримые множества и найти меру произвольного измеримого множества.
По поводу первого я так понимаю, что для одноточечного множества, являющегося внутренней точкой каждой из заданных "ступенек" F, мера равна нулю, а для граничных точек "ступенек" (где в одной есть, а в другой нет включения), мера одноточечного множества будет равна разности соседних величин "ступенек".
Для определения измеримости заданных множеств я использую равенство m(A) + m(X\A) = m(X), и представляю нужные множества в виде объединения полуинтервалов вида [a, b[ и одноточечных множеств, и использую результаты 1).
Тут у меня такой вопрос еще (возник, по-видимому, из-за опечатки в условии): заданное множество А, которое нужно проверить "на измеримость" ведь должно содержаться в Х? Чтобы на него распространялось лебеговское продолжение меры с S. У меня просто в условии Х = [3, 8[, а найти надо меру множества А = [-2; 7,9], которое в Х не содержится...
И вот что-то с третьим пунктом, я не знаю, что делать. Если я правильно понимаю, то нужно каким-то универсальным образом записать обобщенный вид измеримого множества на Х, чего я как-то не могу сообразить. Хелп!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
NRM писал(а):
Задано множество X = [-3, 8[

NRM писал(а):
У меня просто в условии Х = [3, 8[
Вот и понимай, как хочешь. Как говорится, угадай с трёх раз, какое у меня условие :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 19:41 


07/05/07
6
Ну, я и имею в виду, что написано в условии [3, 8[, но тогда я не знаю, как доказать, что множество А = [-2; 7.9[ измеримое, если его кусок выходит за границу Х...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
NRM писал(а):
Ну, я и имею в виду, что написано в условии [3, 8[,
Вы бы хоть своё предыдущее сообщение почитали......

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 22:49 


07/05/07
6
Я прекрасно знаю, что писала в предыдущих постах, и объясняю еще раз, что в условии задано множество $ X = [3, 8[$, но я была уверена, что там опечатка и решала задачу для условия $ X=[-3, 8[. Поэтому отталкиваясь от этого, описала ход решения с измененной формулировкой. Неужели непонятно. И про этот возможный недочет с минусом я сказала, как про второстепенную проблему, тогда как Вы, наверное, придравшись к этому моменту, до конца даже не дочитали. А проблема в
NRM писал(а):
3) описать все измеримые множества и найти меру произвольного измеримого множества...
...
Если я правильно понимаю, то нужно каким-то универсальным образом записать обобщенный вид измеримого множества на Х, чего я как-то не могу сообразить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
NRM писал(а):
Вы, наверное, придравшись к этому моменту, до конца даже не дочитали.
Нет, я с детства знаю, что текст кончается после последнего написанного знака, и читать нужно именно до этого места. И я знаю ответ на этот последний вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 23:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Просьба участникам перестать спорить друг с другом. По поводу формулировки разобрались.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Докажите, что, если функция имеет конечное число ступенек (думаю, что Вам задан именно такой случай), то любое подмножество будет измеримым, и его мера будет равна сумме всех скачков функции в тех точках, которые попали в подмножество.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2007, 23:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я бы сказал, что задача в третьем пункте сформулирована не вполне корректно. Ее можно понимать по-разному.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Brukvalub писал(а):
Докажите, что, если функция имеет конечное число ступенек (думаю, что Вам задан именно такой случай), то любое подмножество будет измеримым, и его мера будет равна сумме всех скачков функции в тех точках, которые попали в подмножество.


Согласен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2007, 13:23 


07/05/07
6
Извините за некоторую резкость, просто условие меня по жизни напрягает. Если есть какие-то опечатки или что-либо подобное, то именно в моем варианте постоянно.
За подсказку спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group