Отображения. Композиция отображений.

[julyk]

Помогите пожалуйста разобраться!
Условие: пусть $f,$ $g$ - отображения множества рациональных чисел в себя. $f\left(x\right)=x+1, g\left(x\right)=2x.$ Найти подмножество множества рациональных чисел, содержащее ноль и все числа, являющиеся образами нуля при всевозможных отображениях, равных композиции любого конечного числа отображений $f, f^{-1}, g, g^{-1}.$

Предполагаю, что нужно рассмотреть:
1. $f^{k}\left(x\right) = f\left(...f\left(x\right)...\right);$
2. $g^{l}\left(x\right) = g\left(...g\left(x\right)...\right);$
3. $f^{-t}\left(x\right) = f\left(...f\left(x\right)...\right);$
4. $g^{-s}\left(x\right) = g\left(...g\left(x\right)...\right).$

Рассмотрим $f^{k}\left(x\right):$
$k=1: f\left(0\right) = 1;$
$k = 2: f^2 = f(1) = 2;$
$k = 3: f^3 = f\left(2\right) = 3;$
$k = 4: f^4 = f\left(3\right) = 4;$
$k = 5: f^5 = f\left(4\right) = 5;$
$k = 6: f^6 = f\left(5\right) = 6;$
Очевидно, что при всевозможных отображениях, равных композиции любого конечного числа отображений $f,$ получаем множество натуральных чисел и ноль, причем, при нечетном $k$ получаем нечетные числа, при четном - четные.

Рассмотрим $g^{l}\left(x\right):$
$l = 1: g^1 = g(0) = 0;$
$l = 2: g^2 = g(0) = 0;$
$l = 3: g^3 = g(0) = 0;$
При всевозможных отображениях, равных композиции любого конечного числа отображений $g,$ получается только нуль.

Рассмотрим $f^{-t}:$
$t = 1: f^{-1}\left(0\right) = 1;$
$t = 2: f^{-2}\left(1\right) = \frac{1}{2};$
$t = 3: f^{-3}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{5};$
$t = 4: f^{-4}\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{8}{5};$
$t = 5: f^{-5}\left(\frac{8}{5}\right) = \frac{13}{5};$
$t = 6: f^{-6}\left(\frac{13}{5}\right) = \frac{18}{5};$
$t = 7: f^{-7}\left(\frac{18}{5}\right) = \frac{23}{5};$
Здесь наблюдение может показаться странным, но ничего другого я пока не придумала. Числитель отображения следующей степени равен сумме числителя и знаменателя предыдущей $\left(8+5=13; 13+5=18; 18+5=23\right).$ Не знаю пока, как иначе это обозначить.

Рассмотрим $g^{-s}\left(x\right):$ здесь получается что мы делим на ноль...но ведь нельзя?
Подскажите пожалуйста, правильным путем ли я иду, как описать $f^{-t}, f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}, и что делать с g^{-s}.$

P.S. Перечитала еще раз условие задачи, подумала, что может быть не надо рассматривать $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s},$ но вспомнила, что преподаватель про это упомянула.
Большое спасибо.

[Cash]

Школьник Петя умеет добавлять единицу, умножать на два и еще 2 операции, которые Вы, надеюсь, нам все-таки назовете. Какие числа Петя может получить, если в начале у него есть только ноль?

[julyk]

Извините, что не написала конкретно. Еще $f^{-1}=\frac{1}{x+1}, g^{-1}=\frac{1}{2x}$. Тогда наверное все из рациональных и получит...

[ИСН]

В этой области математики маленькая минус единичка справа вверху имеет совершенно другой смысл.

[julyk]

Поняла, $f^{-1}= x-1, g^{-1} = \frac{x}{2}.$

Еще я записала в общем виде:
$f^k\left(x\right) = k + x;$

$g^l\left(x\right) =2^{l}x;$

$f^{-t}\left(x\right) = x - t;$

$g^{-s}\left(x\right) = \frac{x}{2^s}.$

Рассмотрим композицию $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}\left(x\right) = 2^l\left(\frac{x}{2^s} - t\right) + k.$
Но таких вариантов еще куча...Мне нужно как-то описать множество, которое у меня получится. Понимаю, что будут целые и "деленные на два"...как дальше решать?

[Sonic86]

julyk в сообщении #873045 писал(а):

Понимаю, что будут целые и "деленные на два"

А еще какие-нибудь будут?

julyk в сообщении #873045 писал(а):

Рассмотрим композицию $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}\left(x\right) = 2^l\left(\frac{x}{2^s} - t\right) + k.$

Можно ли полученную композицию упростить?

Вы от ответа недалеко, надо поискать еще немного.

[julyk]

Мне кажется, что нет, но я не уверена.

Упростить разве что $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}\left(x\right) = \frac{x}{2^{s-l}} - 2^lt + k.$

[Munin]

julyk в сообщении #863220 писал(а):

$f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s},$

Вообще говоря, этого может быть недостаточно. Ваш пациент - цепочки композиций $(f^{k_1}g^{l_1})(f^{k_2}g^{l_2})\ldots$ произвольной длины $(k_i,l_i\in\mathbb{Z}).$

-- 08.06.2014 13:20:30 --

Так что сначала всё-таки алгебраическая часть задания: найти группу, построенную на этих образующих.

[julyk]

Вот да, я и писала, что таких вариантов еще куча...
Эмм, а как это можно сделать?

[Munin]

Среди таких цепочек есть какие-нибудь совпадающие по значению?

[Sonic86]

julyk в сообщении #873048 писал(а):

Упростить разве что $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}\left(x\right) = \frac{x}{2^{s-l}} - 2^lt + k.$

Вот, и теперь смотрите: в правой части у нас сократились двойки. Кроме того, правую часть можно выразить как $(f^{a_1}g^{b_1}...f^{a_s}g^{b_s})(x)$ - попробуйте ее выразить. Что это значит? Это значит, что слово $f^{k}g^{l}f^{-t}g^{-s}$, задающее преобразование, упрощаемо. Попробуйте выбрать наиболее простое упрощаемое слово и упростите его. Теперь попробуйте упростить цепочку преобразований $f^{a_1}g^{b_1}...f^{a_s}g^{b_s}$ в общем случае.
Но это, мне кажется, немного в сторону.

Можно вот такой вариант, он, мне кажется, попроще:
Наше условие имеет вид
1) $0\in S, M=\{f,f^{-1},g,g^{-1}\}$ и $(\forall\varphi\in M)(\forall x)x\in S\Rightarrow \varphi(x)\in S$. Найти $S$.
Попробуйте решить 2 более простые задачи:
2) То же для $M=\{f,f^{-1}\}$
2) То же для $M=\{f,f^{-1},g\}$

(совсем сильная подсказка)

Пусть $x\in S$. Как соотносятся $x+\mathbb{Z}$ и $S$?

[Munin]

Кстати, в такой формулировке:

Cash в сообщении #863229 писал(а):

Школьник Петя умеет добавлять единицу, умножать на два и еще 2 операции, которые Вы, надеюсь, нам все-таки назовете. Какие числа Петя может получить, если в начале у него есть только ноль?

- ответ находится просто подбором :-)

[julyk]

Munin, про Петю)

Ну тут, видимо и есть ноль, целые отрицательные, целые положительные, и рациональные, которые при умножении на 2, дают целое:)

-- 08.06.2014, 16:14 --

Сейчас про другой способ подумаю)

-- 08.06.2014, 16:19 --

Sonic86, в первом случае $S=\mathbb Z,$ а во втором: $S={\mathbb Z, q\cdot2\in \mathbb Z},$ где $q-$ рациональное.

[kp9r4d]

julyk в сообщении #873166 писал(а):

Ну тут, видимо и есть ноль, целые отрицательные, целые положительные, и рациональные, которые при умножении на 2, дают целое:)

Есть ещё и другие.

[Sonic86]

julyk в сообщении #873166 писал(а):

в первом случае $S=\mathbb Z,$

Угу.

julyk в сообщении #873166 писал(а):

во втором: $S=\{\mathbb Z, q\cdot2\in \mathbb Z\},$ где $q-$ рациональное.

Запись непонятна, и, скорее всего, неверна. Будьте внимательнее. Чему равно $g(2)$?