Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[vicvolf]

Теперь рассмотрим неалгебраические диофантовые уравнения.

Покажем, что количество решений уравнения (20) в области натуральных чисел, когда $F(x_1,..x_k)$ - неалгебраическая функция, либо конечно (случай 1 асимптотической плотности), либо бесконечно (случай 2 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение $2^{x_1}=3^{x_2}$ (96).
Требуется определить количество решений уравнения (96) в области натуральных чисел.

Решение.
Уравнение (96) решений в области натуральных чисел не имеет, так как слева находится четное число, а справа - нечетное. Отсутствие натуральных решений (количество натуральных решений равно 0, т.е. конечно) (случай 1 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение $2^{x_1}+3^{x_2}=5^{x_3}$ (97).
Требуется определить количество решений уравнения (97) в области натуральных чисел.

Решение.
Шинцель доказал, что уравнение (97) имеет только 2 решения в области натуральных чисел: $x_1=x_2=x_3=1$; $x_1=4, x_2=x_3=2$ (случай 1 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение $2^{x_1}=4^{x_2}$ (98).
Требуется определить количество решений уравнения (98) в области натуральных чисел.

Решение.
Уравнение (98) преобразуется к виду: $2^{x_1}=2^{2x_2}$, которое эквивалентно алгебраическому уравнению: $x_1=2x_2$, которое имеет бесконечное количество решений в области натуральных чисел. Уравнение (98) имеет $N/2$ решений в $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение $\log_a (x_1)+ \log_a (x_2)= \log_a (x_3)$, (99) где а - натуральное число больше 1.
Требуется определить количество решений уравнения (99) в области натуральных чисел.

Решение.
Преобразуем уравнение (99) к виду: $\log_a (x_1 \cdot x_2)=\log_a (x_3)$, которое эквивалентно алгебраическому уравнению: $x_3=x_1 \cdot x_2$ (100) в области натуральных чисел, которое имеет бесконечное число решений в данной области. Уравнение (100) имеет не более $N$ решений в $A^3$ (случай 2 асимптотической плотности).

Неалгебраические уравнения, которые сводятся к алгебраическим, имеют количество решений в области натуральных чисел такое же, как алгебраические, которые мы рассматривали ранее. Таким образом для них, выполняются случаи 1, 2 асимптотической плотности.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Рассмотрим неалгебраические диофантовые уравнения, которые не сводятся к алгебраическим уравнениям.

Простейшими такими уравнениями являются: $x_2=a^{x_2}$ (101), $x_2=\log_a (x_1)$ (102), где а - натуральное число больше 1.

Простейшие уравнения (101), (102) имеют бесконечное число решений в области натуральных чисел и $\log_a (N)<N$ решений в $A^2$.

Неалгебраическое диофантовое уравнение можно представить, как систему простейших уравнений и алгебраического уравнения, с помощью введения фиктивных переменных.

Например, уравнение $2^{x_1}+3^{x_2}=5^{x_3}$ (103) можно представить, как систему уравнений:
$x_4=2^{x_1}, x_5=3 ^{x_2}, x_6=5^{x_3}, x_6=x_4+x_5$ (104)
Последнее уравнение системы (104) является алгебраическим. Оно имеет бесконечное число решений и менее $N^2$ решений в области $A^3$ (случай 2 асимптотической плотности).

Однако, решением системы уравнений являются натуральные значения переменных, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям, поэтому количество решений системы естественно меньше, чем у алгебраического уравнения, входящего в систему.

В частности для системы уравнений (104), как и для уравнения (103), количество решений конечно и равно 2 (случай 1 асимптотической плотности).

Рассмотрим еще один пример: $2^{x_1}=7+x_2^2$ (105).
Уравнение (105) можно представить, как систему уравнений: $x_3=2^{x_1}, x_3=7+x_2^2$ (106).
Последнее алгебраическое уравнение в (106) имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел и менее $N$ решений в области $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).
Система уравнений (106) и уравнение (105) имеет только 5 решений в области натуральных чисел (случай 1 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Возможны и другие простейшие диофантовые неалгебраические уравнения, например, $x_3=x_1^{x_2}$, (107) где $x_1,x_2,x_3$ - натуральные числа и $x_1>1$.

Уравнение (107) имеет в области натуральных чисел бесконечное количество решений и $\sum_{i=2}^{N}{\log_i(N)}<N^2$ решений в $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

Например, рассмотрим уравнение $x_1^{x_2}-2^{x_3}=1$ (108).
Уравнение (108) преобразуется в систему уравнений, состоящую из простейших неалгебраических уравнений и алгебраического уравнения: $x_4=x_1^{x_2}, x_5=2^{x_3}, x_4-x_5=1$ (109).
Последнее алгебраическое уравнение в (109) имеет бесчисленное количество решений в области натуральных чисел и менее $N$ решений в $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).
Однако, необходимость выполнения также дополнительных простейших уравнений приводят к тому, что уравнение (108) и система (109) имеют только одно решение в области натуральных чисел - $x_1=3, x_2=2, x_3=3$ (случай 1 асимптотической плотности).

Мы плавно перешли к системам диофантовых уравнений. Теперь рассмотрим их подробнее.

Система диофантовых уравнений (21): $F_1(x_1,...x_k)=0,...F_m(x_1,...x_k)=0$, где $m<k$.
Система уравнений (21) является частным случаем предиката условия, где уравнения $F_i(x_1,..x_k)=0$ (20) ( $1<i \leq m$) связаны логической операцией "И". Таким образом, под решением системы (21) понимается пересечение множеств решений уравнений (20).
Напомним, что количество решений уравнения (20) в области $A^k$, для невырожденных поверхностей не превышает $N^{k-1}$, а для вырожденных поверхностей не превышает $2N^{k-1}$.
Поэтому количество решений системы диофантовых уравнений (21) не превышает $\pi(B_N) \leq 2N^{k-1}$ (110).
Вероятность кортежа $<x_1,...x_k>$ быть решением системы диофантовых уравнений (21) не превышает $Pr(B_N) \leq 2/N$ (111).
Асимптотическая плотность решений системы диофантовых уравнений (21) на основании (111) равно $P'(B_N)=0$ (112).
На основании (112) можно обобщить утверждение 5 на системы диофантовых уравнений, т.е. асимптотическая плотность решений диофантовых уравнений и систем диофантовых уравнений равна 0.

Количество решений системы диофантовых уравнений равно количеству решений одного уравнения возможно только в случае, если все уравнения системы (21) эквивалентны в области натуральных чисел.
Пример системы эквивалентных уравнений в области натуральных чисел: $x_2=x_1, 2^{x_1}=2^{x_2}, \log_3(x_2)=\log_3(x_1)$ (113).

Система диофантовых уравнений (21) не имеют решений в области натуральных чисел, если хотя бы одно уравнение, входящее в систему, не имеет решений в области натуральных чисел или уравнения системы не имеют общих решений в области натуральных чисел.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Теперь поговорим об алгебраических диофантовых уравнениях, которые соответствуюит вырожденным кривым и поверхностям.

Зададимся вопросом, почему когда уравнение $F(x_1,x_2)=0$ соответствует вырожденной кривой, то оно может иметь больше решений в $A^2$, чем у уравнения $F(x_1,x_2)=0$, которое соответствует невырожденной кривой?

Ответ на этот вопрос простой. Вырожденная кривая может распадаться на несколько прямых, которые могут пересекаться, либо быть параллельными. На каждой прямой может находиться $N$ решений в области $A^2$. Если прямые параллельны и их количество равно n, то максимальное количество решений в области $A^2$ равно $n \cdot N$ (114).
Например, кривая второго порядка распадается на две параллельные прямые. Поэтому $n=2$ и максимальное количество решений в $A^2$ для кривой второго порядка равно $2N$. Смотрите ранее вырожденную параболу (случай 1 -параллельные прямые) и пример (54).
Количество параллельных прямых, на которые распадается кривая зависит от порядка кривой. Вырожденная кривая n-ого порядка может содержать n параллельных прямых - по максимально возможному числу действительных корней для алгебраического уравнения n степени. В этом случае максимальное количество решений уравнения $F(x_1,x_2)=0$ в области $A^2$ определяется по формуле (114).

Пример.
Дано уравнение $F(x_1, x_2)=x_1^3-6x_1^2+11x_2-6=0$ (115), соответствующее вырожденной кривой 3-его порядка.
Требуется определить количество решений уравнения (115) в области $A^2$

Решение.
Уравнение (115) можно представить в виде: $(x_1-1)(x_2-2)(x_3-3)=0$ (116). Поэтому его решение находятся на трех параллельных прямых: $x_1=1, x_1=2, x_1=3$.
Таким образом, количество решений уравнения (115) в $A^2$ равно $\pi(B_N)=3N$ (117).

Если диофантовое уравнение (20) $F(x_1, x_2, x_3)=0$ соответствует вырожденной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, то его решения могут находиться на нескольких пересекающихся или параллельных плоскостях. На каждой плоскости максимально может находиться $N^2$ решений в $A^3$. Если количество параллельных плоскостей равно n, то максимальное количество решений уравнения $F(x_1, x_2, x_3)=0$ в $A^3$ будет $n \cdot N^2$ (118).
Например, поверхность второго порядка распадается на две параллельные плоскости, т.е. $n=2$ и максимальное количество решений уравнения $F(x_1, x_2, x_3)=0$ равно $2N^2$. Смотрите ранее формулу (89).
Количество параллельных плоскостей, на которые распадается поверхность зависит от порядка поверхности. Вырожденная поверхность n-ого порядка может содержать n параллельных плоскостей - по максимально возможному числу действительных корней для алгебраического уравнения n степени. В этом случае максимальное количество решений уравнения $F(x_1,x_2,x_3)=0$ в области $A^3$ определяется по формуле (118).

Если диофантовое уравнение (20) $F(x_1, ...x_k)=0$ соответствует вырожденной поверхности в k-мерном евклидовом пространстве, то его решения могут находиться на нескольких пересекающихся или параллельных гиперплоскостях. На каждой гиперплоскости максимально может находиться $N^{k-1}$ решений в $A^k$. Если количество параллельных гиперплоскостей равно n, то максимальное количество решений уравнения $F(x_1, ...x_k)=0$ в $A^k$ будет $n \cdot N^{k-1}$ (119).
Количество параллельных гиперплоскостей, на которые распадается поверхность зависит от порядка поверхности. Вырожденная поверхность n-ого порядка может содержать n параллельных гиперплоскостей - по максимально возможному числу действительных корней для алгебраического уравнения n степени. В этом случае максимальное количество решений уравнения $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$ определяется по формуле (119).

Таким образом, количество решений в $A^k$ для диофантового уравнения n-ой степени от k-переменных $F(x_1, ...x_k)=0$ не превосходит $\pi(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}$ (120).
Вероятность кортежа $x_1,...x_k$ являться решением уравнения n-ой степени от k-переменных $F(x_1, ...x_k)=0$ не превосходит $Pr(B_N) \leq n/N$ (121).
Асимптотическая плотность решений диофантового уравнения n-ой степени от k-переменных $F(x_1, ...x_k)=0$ равна 0. Это частный случай утверждения 5 для алгебраических диофантовых уравнений.

Учитывая этот материал, сделаю исправления в предыдущем сообщении.

-- 06.06.2014, 17:11 --

Вернемся к системам диофантовых уравнений.
Система диофантовых уравнений (21): $F_1(x_1,...x_k)=0,...F_m(x_1,...x_k)=0$, где $m<k$.
Система уравнений (21) является частным случаем предиката условия, где уравнения $F_i(x_1,..x_k)=0$ (20) ( $1<i \leq m$) связаны логической операцией "И". Таким образом, под решением системы (21) понимается пересечение множеств решений уравнений (20).
Напомним, что количество решений уравнения (20) в области $A^k$, для невырожденных поверхностей не превышает $N^{k-1}$, а для вырожденных поверхностей не превышает $nN^{k-1}$.
Поэтому количество решений системы диофантовых уравнений (21) не превышает $\pi(B_N) \leq nN^{k-1}$ (110).
Вероятность кортежа $<x_1,...x_k>$ быть решением системы диофантовых уравнений (21) не превышает $Pr(B_N) \leq n/N$ (111).
Асимптотическая плотность решений системы диофантовых уравнений (21) на основании (111) равно $P'(B_N)=0$ (112).
На основании (112) можно обобщить утверждение 5 на системы диофантовых уравнений, т.е. асимптотическая плотность решений диофантовых уравнений и систем диофантовых уравнений равна 0.

Количество решений системы диофантовых уравнений равно количеству решений одного уравнения возможно только в случае, если все уравнения системы (21) эквивалентны в области натуральных чисел.
Пример системы эквивалентных уравнений в области натуральных чисел: $x_2=x_1, 2^{x_1}=2^{x_2}, \log_3(x_2)=\log_3(x_1)$ (113).

Система диофантовых уравнений (21) не имеют решений в области натуральных чисел, если хотя бы одно уравнение, входящее в систему, не имеет решений в области натуральных чисел или уравнения системы не имеют общих решений в области натуральных чисел.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Например, каждое из уравнений системы: $x_1^2+x_2^2=x_3^2, x_1^2-x_2^2=x_4^2$ (122) имеют бесконечное количество решений в области натуральных чисел, но не имеют общих решений, поэтому система уравнений (122) не имеет решений в области натуральных чисел.

Найдем плотность и количество решений системы диофантовых уравнений: $x_1=x_2=...=x_k$ (123) в области $A^k$.

Решение. Ранее мы нашли, что плотность решений уравнения $x_2=x_1$ в области $A^2$ - $P(B_N)=1/N$. Используем ранее доказанное утверждение, что плотность решений диофантового уравнения в области $A^k$ является вероятностью. Вероятность, что наугад выбранный кортеж $<x_1,...x_k>$ является решением системы (123) определяется по формуле:
$Pr(x_1=x_2=...=x_k)=Pr(x_1=x_2) \cdot Pr(x_2=x_3/x_1=x_2) \cdot ...\cdot Pr(x_{k-1}=x_k/x_1=...=x_{k-1})=1/N \cdot 1/N \cdot...\cdot 1/N=1/N^{k-1}$, (124)
где $Pr(x_{i-1}=x_i/x_1=...=x_{i-1})$ - вероятность, что наугад выбранный кортеж $<x_1,...x_i>$ является решением уравнения: $x_{i-1}=x_i$ при условии, что для него также выполняется система уравнений: $x_1=...=x_{i-1}$.
Полученная вероятность (124) является плотностью решений системы диофантовых уравнений (123) в области $A^k$ - $P(B_N)$.
Количество решений системы диофантовых уравнений (123) в области $A^k$ определяется по формуле: $\pi(B_N)=P(B_N) \cdot N^k=N^k/N^{k-1}=N$. Количество решений соответствует тому, что они расположены на главной диагонали k-мерного куба.

Теперь определим количество решений и плотность решений в области $A^k$ для системы диофантовых уравнений: $x_1^{n_1}=x_2^{n_2}=...=x_k^{n_k}$, (125) где $n_1,...n_k$ - натуральные числа и $n_k>n_{k-1}>...>n_1$.

Решение. Система уравнений (125) имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел: $x_1=t^{m/n_1}, x_2=t^{m/n_2},...x_k=t^{m/n_k}$, (126) где $m$ - наименьшее общее кратное чисел: $n_1, n_2,...n_k$, а $t$- натуральное число.
Так как $n_k>n_{k-1}>...>n_1$, то при $t>2$ на основании (126) количество решений в $A^k$ определяется из неравенства: $t^{m/n_1} \leq N$. Поэтому количество решений системы (125) в области $A^k$ равно $\pi(B_N)=[N^{n_1/m}]<N$ (127).
Плотность решений системы (125) в области $A^k$ равно $\pi(B_n)=[N^{n_1/m}]/N^k<1/N^{k-1}$ (128).

[megamix62]

предлагаю

Теорема. Имеется упорядоченное бесконечное подмножество {$a_n$} $\in \mathbb{N}$, обладающее следующими свойствами:
а) $a_n<a_{n+1}$
б)$a_{n+1}<2a_{n}$
с)$a_{n+1}^{n}<a_{n}^{n+1}$, тогда множество {$a_n$} содержит бесконечное число простых чисел.

[Someone]

megamix62 в сообщении #872881 писал(а):

тогда множество {$a_n$} содержит бесконечное число простых чисел.

А вдруг они все чётные?

megamix62 в сообщении #872881 писал(а):

бесконечное подмножество {$a_n$} $\in \mathbb{N}$

Разумеется, $\{a_n\}\subseteq\mathbb{N}$ (код: $\{a_n\}\subseteq\mathbb{N}$).

[Deggial]

megamix62, замечание за оффтоп и дублирование сообщений.

[vicvolf]

Исправление ошибки.

Пример.
Дано уравнение: $2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ (69).
Требуется оценить количество натуральных решений уравнения в области $A^3$(69).

Уравнение (69) представляет из себя - действительный конус, поэтому может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.
Можно показать, что уравнение (69) действительно имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел: $x_1=2m, x_2=2m^2-1, x_3=2m^2+1$, где m - любое натуральное число.
Оценим количество решений (69) в $A^3$, где $A=1,2,...N$. Так как $2m^2+1>2m^2-1>2m$, при $m>1$, то количество решений в$A3$ - $\pi(B_N)\leq [\sqrt{(N-1)/2}]<N$,
где$[]$- целое число с недостатком (случай 2 асимптотической плотности).

Уравнения систем и системы уравнений (122) и (125) имеют бесконечное количество решений в области натуральных чисел (случай 2 асимптотической плотности).

Однако, если хотя бы одно из уравнений системы диофантовых уравнений имеет конечное число решений, то даже если остальные уравнения системы имеют бесконечное число решений в области натуральных чисел, то система уравнений либо не имеет решений, либо имеет конечное число решений (случай 1 асимптотической плотности).

Пример.
Дана система уравнений:$2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0, x_1^2+x_2^2+x_3^2=14$ (127).
Требуется определить количество решений системы (127) уравнений в области натуральных чисел.

Решение.
Первое уравнение системы (127) имеет бесконечное количество решений -смотрите решение уравнения (69).
Второе уравнение системы (127) имеет конечное число решений: $(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$.
Система равнений (127) имеет единственное решение: $x_1=2,x_2=1,x_3=3$ (случай 1 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Нашел ошибку в примере. Исправляю.

Пример.
Дано диофантовое уравнение $x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+4=0$ (43). Требуется оценить количество целых (натуральных) решений уравнения (43).

Решение.
Для уравнения (43) значение инварианта $D=1 \cdot 1-0=1>0$, поэтому количество решений данного уравнения конечно. Действительно данное уравнение имеет 4 решения в области целых чисел: $(1,-1),(2,-2),(1,-3),(0,-2)$.

[vicvolf]

Хочу подчеркнуть еще один существенный момент.

Количество, плотность и вероятность k-кортежа $<x_1,...x_k>$ удовлетворять некоторым условиям в области $A^k$, где $A=1,...N$, определяет асимптотическое поведение данных показателей, т.е. функции: $f(N), g(N)$, для которых выполняются соответствующие асимптотические равенства:
$\pi(B_N) \sim f(N)$ (128),
$P(B_N)=Pr(B_N) \sim g(N)$ (129).

Пример.
Выберем наугад кортеж натуральных чисел $<x_1,x_2,x_3>$. Возведем первое число в квадрат, второе - в куб, а третье - в четвертую степень.
Требуется определить, какова вероятность, что все три полученные числа равны и не превосходят $10^6$, т.е. $Pr(x_1^2=x_2^3+x_3^4 \leq 10^6)$.
Также требуется определить асимптотику количества и плотности кортежей $<x_1,x_2,x_3>$, удовлетворяющих указанному условию.

Решение.
На основании (127) $\pi(B_N)=[N^{1/6}]=10$ (130),
поэтому $\pi(B_N) \sim N^{1/6}$ (131).
На основании (128) $P(B_N)=Pr(B_N)=[N^{1/6}]/N^3=10/10^{18}=10^{-17}$ (132),
поэтому $P(B_N)=Pr(B_N) \sim N^{1/6}/N^3=N^{-17/6}$ (133).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Еще один пример на определение асимптотического поведения количественных показателей решений диофантовых уравнений.

Требуется определить асимптотику количества и плотность решений диофантового уравнения (69) - $2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ в области $A^2$.
Также определить вероятность кортежа $<x_1,x_2>$ являться решением диофантового уравнения (69).

Решение.
Так как количество решений уравнения (69) в области $A^2$ равно $\pi(B_N)=[\sqrt{(N-1)/2}]$, то $\pi(B_N)\sim \sqrt{N/2}$ (134).
На основании (134) асимптотика плотности решений уравнения (69) в области $A^2$ и вероятности кортежа $<x_1,x_2>$ являться решением диофантового уравнения (69) равна:
$P(B_N)=Pr(B_N) \sim \sqrt{N/2}/N^3=1/\sqrt{2N^5}$ (135).

Может возникнуть вопрос. Почему я столько внимание уделил определению количества, плотности и вероятности k-кортежа $<x_1,...x_k>$ являться решением диофантового или системы диофантовых уравнений?

Ответ на этот вопрос очень прост. Диофантовые уравнения и системы диофантовых уравнений представляют из себя большой класс различных предикатов условий в области $A^k$, определяемых k-нарным отношением равенства "=".

Продолжение следует.

[vicvolf]

Подведем итоги рассмотрения количественных показателей решений диофантовых уравнений и систем.

1. Показано, что асимптотическая плотность решений диофантовых уравнений или систем в натуральных числах равна 0.
Таким образом, асимптотическая плотность решений диофантовых уравнений и систем является либо случаем 1 (конечное число решений в натуральных числах). Тогда последовательность $\pi(B_N)$, начиная с некоторого $N_0$ не возрастает и остается постоянной величиной. В этом случае $P'(B)=\lim \limits_{N \to \infty} {\frac {\pi(B_N)} {N^k}}=0$. В другом случае 2 (бесконечное число решений в натуральных числах) последовательность $\pi(B_N)$ возрастает неограниченно, как $O(N^s)$, где $s<k$. В этом случае $P'(B)=\lim \limits_{N \to \infty} {\frac {\pi(B_N)} {N^k}}=0$.
2. Даны методы и исследованы оценки количества, плотности и вероятности k-кортежа $<x_1,...x_k>$ являться решением в области натуральных чисел:
- алгебраических уравнений первого, второго и более высоких порядков от двух и более переменных;
- неалгебраических диофантовых уравнений;
- систем диофантовых уравнений.
3. Приведены геометрические доказательства оценки количества решений в натуральных числах диофантовых уравнений второго порядка от двух, трех переменных и более переменных.
4. Доказано утверждение о количестве решений в области натуральных чисел для алгебраических диофантовых уравнений более высоких степеней.
5. Даны оценки асимптотического поведения количественных показателей решений в натуральных числах диофантовых уравнений и систем.
6. Приведены многочисленные примеры.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Дополню.

7. Показано, что максимальное количество и плотность решений диофантовых уравнений и систем достигается, когда диофантовое уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ соответствет вырожденной поверхности - параллельным гиперплоскостям. Так как для уравнения $n$-ого порядка максимальное количество возможных гиперплоскостей равно - $n$, то количество решений диофантовых уравнений и систем в области $A^k$, где $A=1,2,..N$, не превышает $\pi(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}$ или $O(N^{k-1})$ и соответственно плотность количества решений диофантовых уравнений и систем в области $A^k$ превышает $P(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}/N^k=n/N$ или $O(1/N)$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #867985 писал(а):

Диофантовое уравнение (20) второго порядка от трех перемееных можно представить в виде:

$$F(x_1,x_2,x_3)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{23}x_2x_3+2a_{14}x_1+2a_{24}x_2+2a_{34}x_3+a_{44}=0.$$

Уравнение (57) задает поверхность второго порядка. Из 17 типов поверхностей второго порядка 14 поверхностей, кроме эллиптического и гиперболического параболоида и параболического цилиндра, относятся к центральным.
Уравнение (57), задаваемое центральной поверхностью второго порядка, относится к уравнению вида (38), поэтому в этом случае, если у него существует натуральное решение, то существет еще $2^3-1=7$ решений в области целых чисел. Все 8 решений уравнения (57) в этом случае расположены симметрично относительно центра поверхности.
Поэтому для получения оценки количества решений уравнения (57) в области целых чисел, задаваемого центральной поверхностью второго порядка, необходимо количество решений в области натуральных чисел умножить на 8.
Напомню, что для поверхностей второго порядка существуют свои инварианты, не меняющиеся при ортогональном преобразовании:

$I=a_{11}+a_{22}+a_{33}$, (58)

$J= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{33} & a_{13} \\ a_{13} & a_{11} \end{pmatrix}$, (59)

$D= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}$,(60)

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix}$,(61)

$A'=A_{11}+A_{22}+A_{33}+A_{44}$, (62) где $A_{ij}$ - алгебраическое дополнение к $a_{ij}$ в D.

Продолжение следует.