Конечные множества, ZF

[alex_dorin]

Профессор Снэйп в сообщении #616126 писал(а):

Я слышал, есть два определения конечного множества:

1) Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому натуральному числу (то есть конечному ординалу).

Можно ли без противоречия присоединить к аксиомам теории множеств ZF
в качестве аксиомы утверждение -
"Все множества - конечны" ?

С уважением
Александр Дорин

Lia: замечание за некорректное оформление цитаты. Исправлено.

Deggial: выделено из темы конечные множества

[arseniiv]

Нет, нельзя. В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.

[alex_dorin]

arseniiv -
В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.

Наверное, про это множество такое сказать нельзя, т.к оно, это множество, получается при помощи операции объединения с конечным множеством (по предлагаемой аксиоме) с ранее полученным множеством, которое конечно (по предлагаемой аксиоме).

С уважением
Александр Дорин

[Lia]

alex_dorin
Повторное замечание за неоформление цитаты.

[alex_dorin]

arseniiv в сообщении #870831 писал(а):

Нет, нельзя. В ZF есть аксиома (аксиома бесконечности), постулирующая существование множества, про которое потом отдельно можно показать, что в нём есть равномощное ему собственное подмножество.

Наверное, про это множество такое сказать нельзя, т.к оно, это множество, получается при помощи операции объединения с конечным множеством (по предлагаемой аксиоме) с ранее полученным множеством, которое конечно (по предлагаемой аксиоме).

С уважением
Александр Дорин

[arseniiv]

Прочитал трижды, но так и не понял, что вы хотели сказать.

Давайте для удобства обозначать это множество $\omega$.

Аксиома бесконечности имеет вид $\exists \omega\left( \varnothing\in\omega\wedge\forall x\left( x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega \right\right)$.

Его подмножество $\omega_1 = \omega\setminus\{\varnothing\}$ можно поставить во взаимно однозначное соответствие с $\omega$ с помощью функции $f\colon\omega\to\omega_1$, $f = \{(x, x\cup\{x\}) : x\in\omega \}$. То, что это биекция, можно доказать.

[alex_dorin]

Я использую аксиому бесконечности в виде формулы первопорядковой логики с единственным предикатом "a элемент b" арности 2 в виде изложенном в Мостовский "Конструктивные множества и их приложения". Не возникает противоречия в ZF при добавлении аксиомы - "все множества - конечные".

C уважением
А. Дорин

[arseniiv]

alex_dorin в сообщении #871189 писал(а):

Я использую аксиому бесконечности в виде формулы первопорядковой логики с единственным предикатом "a элемент b" арности 2 в виде изложенном в Мостовский "Конструктивные множества и их приложения".

Вместо описания могли бы и привести её здесь.

Формула

arseniiv в сообщении #871127 писал(а):

$\exists \omega\left( \varnothing\in\omega\wedge\forall x\left( x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega \right\right)$

тоже разворачиваема в формулу без $\subset$, $\varnothing$ и $\{\}$. Если вы можете установить, имея уже развёрнутую формулу, что

alex_dorin в сообщении #871189 писал(а):

Не возникает противоречия в ZF при добавлении аксиомы - "все множества - конечные".

то вы, думается, без труда можете показать выводимость друг из друга развёрнутой и этой формул.

-- Вт июн 03, 2014 17:45:51 --

Кстати, как вы проверяли, что не возникает противоречия?

[alex_dorin]

arseniiv в сообщении #871359 писал(а):

Кстати, как вы проверяли, что не возникает противоречия?

Различными логическими пруверами довольно длительное время.
Естественно без аксиомы подстановки, тк она не выразима в логике первого порядка.
А. Дорин

[arseniiv]

Это описание как-то не описывает. Что конкретно вы делали? И как вы собираетесь опровергнуть

arseniiv в сообщении #871127 писал(а):

$\omega_1 = \omega\setminus\{\varnothing\}$ можно поставить во взаимно однозначное соответствие с $\omega$ с помощью функции $f\colon\omega\to\omega_1$, $f = \{(x, x\cup\{x\}) : x\in\omega \}$. То, что это биекция, можно доказать.

?
Существование этой биекции вместе с постулированием конечности всех множеств (в виде, что множество конечно, когда не существует биекции в какое-нибудь его собственное подмножество) приводит к противоречию.

-- Вт июн 03, 2014 19:38:36 --

Если вы просто пытались вывести какую-нибудь формулу вместе с отрицанием, но не вывели, это не говорит, что их нельзя вывести в принципе.

[alex_dorin]

Замечу, я ранее проверял на эквивалентность приведеной Вами формы аксиомы бесконечности (она часто встречается
в литературе) и упомянутой выше аксиомы выписанной Мостовским при помощи надежных логических пруверов , и получил результат - они не эквивалентны.
Так, что , теория множества - часто - символ веры !

А. Дорин

[arseniiv]

alex_dorin в сообщении #871391 писал(а):

Замечу, я ранее проверял на эквивалентность приведеной Вами формы аксиомы бесконечности (она часто встречается
в литературе) и упомянутой выше аксиомы выписанной Мостовским при помощи надежных логических пруверов , и получил результат - они не эквивалентны.
Так, что , теория множества - часто - символ веры !

Так что вы просто не умеете пользоваться надёжными логическими пруверами, вероятно.

Приведите уже ту формулу. У вас книга уже есть, а мне её надо сначала раздобыть. Но утверждаете-то вы, а не я.

[Xaositect]

И заодно приведите формулу, которой Вы записали "все множества - конечные".

[Deggial]

alex_dorin, замечание за кривое и избыточное цитирование.
В случае рецидива буду сносить посты в Карантин.
Цитаты снесены почти полностью, как почти бессмысленные.

[alex_dorin]

Мостовский А. Конструктивные множества и их приложения. М.: Мир, 19730
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 973ru.djvu

Формулу, утверждающую предложение "все множества - конечные"
могу написать, но не в latex.
Нужно ввести не мало вспомогательных аксиом для вспомогательных предикатов.
Смею Вас заверить - ошибок там нет и пруверами я пользуюсь хорошо.

C уважением
А. Дорин
г. Полтава