2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 конечные множества
Сообщение07.09.2012, 19:28 
Аватара пользователя


24/01/07
35
Помогите разобраться:

Доказать что, если $A$ конечное множество, то существует такое натуральное $n$ , что $A \leftrightarrow \{1,...,n\}$.

Можно ли это доказать методом матиндукции или есть иное доказательство?
Думаю, что можно еще доказать от обратного, а как доказать это прямым путем и без индукции?

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение07.09.2012, 19:31 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Перво-наперво: какое у вас определение конечного множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение07.09.2012, 19:48 
Аватара пользователя


24/01/07
35
Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение07.09.2012, 20:45 
Заслуженный участник


08/01/12
915
milib в сообщении #615983 писал(а):
Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

Отлично, а что такое «количество элементов»?

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение08.09.2012, 03:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
apriv в сообщении #615996 писал(а):
milib в сообщении #615983 писал(а):
Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно.

Отлично, а что такое «количество элементов»?

И что значит, что оно конечно ? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение08.09.2012, 07:00 
Аватара пользователя


24/01/07
35
Конечное множество не имеет подмножества (отличного от самого множества) эквивалентного самому множеству. Из множества можно выбрать (аксиома) и удалить элемент. На каждом i-м шаге этому натуральному i ставим в соответствие выбранный элемент множества. Этот процесс конечный, т.е. существует такой шаг n, после которого из множества будут выбраны все элементы. В результате получим взаимно однозначное соответствие между первыми n натуральными числами и элементами множества.
Так можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение08.09.2012, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
milib в сообщении #616082 писал(а):
онечное множество не имеет подмножества (отличного от самого множества) эквивалентного самому множеству.

Это означает, что оно не является бесконечным.
milib в сообщении #616082 писал(а):
Этот процесс конечный

Не понял. Может лучше назвать множество $A$ конечным, если существует $n\in\mathbb{N}$ и существует биекция $f:A\to\{1,2,\ldots ,n\}$? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение08.09.2012, 11:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Я слышал, есть два определения конечного множества:

1) Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому натуральному числу (то есть конечному ординалу).
2) Множество называется конечным, если оно не равномощно никакому собственному подмножеству.

Эти два определения эквивалентны с аксиомой выбора, а без аксиомы выбора не эквивалентны.

Ну и тут правильный вопрос был задан: что следует считать определением конечного множества. Если первое, то ничего доказывать не надо. А если второе, то надо брать ординал, равномощный данному множеству, предполагать, что он бесконечен, устраивать биекцию этого ординала на собственное подмножество, переносить эту биекцию на исходное множество и получать противоречие. Требуется теорема о том, что любое множество можно вполне упорядочить, она как раз аксиоме выбора и равносильна.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение08.09.2012, 14:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
milib в сообщении #616082 писал(а):
Из множества можно выбрать (аксиома) и удалить элемент.
Не получается из $\varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: конечные множества
Сообщение04.06.2014, 17:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Последующее обсуждение отделено в новую тему Конечные множества, ZF

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group