Как насчёт
или
?
Это просто можно не считать фигурой. Сначала можно считать фигурами только многоугольники, потом добавить дуги окружностей, например, а если кто-то спросит, можно ли взять произвольную кривую, то легко ответить "можно, если она достаточно хорошая".
Теория площадей многоугольников, кстати говоря, является прекрасным разделом школьной геометрии (теорема Бойяи-Гервина).
Вы не понимаете, что то, что творится в физике (как предмете преподавания) - самый настоящий обман, огромный и бесстыдный, и ответственны за него математики.
Вы хотите один обман заменить другим. Я, в целом, не против; более того, так сейчас часто и происходит, см. ниже про Calculus.
Вот это крайняя ошибка математиков, и притом совершенно неизлечимая.
Понятие может существовать и без доказательств!
Я на этом настаиваю.
И для изучения физики, например, владение математическими понятиями нужно, а доказательствами - нет. Владение теоремами и фактами нужно на уровне формулировки. На уровне применения этой формулировки к практическим задачам.
Владение предполагает:
1) Знание границ применимости (можно ли возводить
в квадрат?).
2) Понимание того, что где-то существует строгое изложение, и необходимости такого изложения. Разумеется, физик не обязан перепроверять каждый чужой эксперимент, если результат опубликован. И уж тем более не обязан перепроверять доказательство теоремы, если она есть в учебнике или в статье. Даже точной формулировки не обязан знать, если у него есть правильная интуиция о том, для каких функций она должна работать. Но он должен признавать существование самой теоремы.
"Прикладная математика для инженеров" - это тоже математика. Это не что-то другое. И её рассказывать должны именно математики.
Должны. Именно с целью не врать. "Не врать" абсолютно не означает "всё доказывать".
Можно и дать. Если не топтаться потом на этом определении полгода, а потратить на него полчаса максимум, и дальше работать с тем, что на нём основано.
Я больше получаса и не предполагал на него тратить.
Вот это - неправда!!!
Если посмотреть на великих математиков прошлого, от Ферма до Гаусса и Гильберта, то легко заметить, что "формулировать и доказывать теоремы" - только часть их деяний, и часто не основная. Основная - это открывать факты.
Открывают факты все учёные. Математики отличаются тем, что открывают точные факты. Развитие математики в 19 и 20 веках было обязано в том числе и тому, что появились стандарты строгости доказательств, и каждому новому математику не приходилось доказывать всё для себя заново.
Литтлвуд, кажется, приводил пример: доказательство основной теоремы алгебры в конце 19 века занимало 150 страниц, а сейчас умещается в полстраницы, а то и меньше. Человеческие знания о математике растут в том числе и за счёт того, что
строгие доказательства упрощаются. Глупо этим не пользоваться.
Давайте ещё раз вспомним Арнольда. Он считал математику частью физики, в которой эксперименты дешёвые.
Давайте вспомним. Мне кажется, что цитата выдрана из контекста; под экспериментом Арнольд понимал цепочку гипотеза-теорема, а не размахивание руками.
Кроме того, Арнольд же
писал, что прикладной математики не бывает, бывают приложения математики.
------------------------------------------
Про Calculus. Во многих (ну хорошо, как минимум в некоторых; не Принстон, Гарвард, MIT) западных университетах есть курсы Calculus, их штук 6-7, по разным разделам математики. На них именно учат "понятиям", без доказательств, и с примерами использования в реальном мире. Читают их математики. Разумеется, это можно делать по-разному, но вполне реально обойтись без прямого вранья; достаточно уметь правильно делать оговорки и давать ссылки на точные утверждения.
В результате студент, даже математик, после первых двух курсов умеет работать даже с поверхностными интегралами и применять теорему Стокса (грамотно и более чем достаточно для физика). Но если он решает стать математиком, у него начинаются проблемы. Есть продвинутые курсы, в которых всё доказывается, их можно брать, только прослушав Calculus. В результате первый раз о понятии доказательства он узнаёт на 2-3 курсе. Какой из него после этого получится математик, думаю, понятно.
Возможный выход состоит в том, чтобы брать эти Calculus, пока учишься в школе, так некоторые делают.