Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?

[malimax]

Доброго времени суток!
Собственно, вопрос: Почему группа матриц с единичным определителем является подмногообразием?

Если обобщить, то определитель матрицы размерности n является многочленом степени n, как этим воспользоваться?

[patzer2097]

Ну а Вы напишите определение подмногообразия, и на этом решение почти закончится.

[malimax]

Ой, поторопился, полный вопрос: "почему является гладким подмногообразием?"
Пользуюсь таким определением:
Множество $M \subset N$ является гладким подмногообразием размерности $k$, если $\forall x \in M$ найдется открытая окрестность $U \subset N$ и диффеоморфизм $g:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ такой, что $g(U \cap M) = \{ (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}|x_{k+1} = ... = x_n = 0\}$.

Определитель является диффеоморфизмом, кроме некоторой окрестности нуля. Но подойдет ли он нам тут?

[Oleg Zubelevich]

надо доказать, что окрестность единицы является гладким многообразием, а потом разнести эту окрестность сдвигами

[patzer2097]

а я думал Вы про алгебраические многообразия Но все равно, в определении должно быть $x\in M$ и $U\subset N$ вместо того, что у Вас

malimax в сообщении #871064 писал(а):

Множество $M \subset N$ является гладким подмногообразием размерности $k$, если $\forall x \in N$ найдется открытая окрестность $U \subset M$ и диффеоморфизм $g:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ такой, что

А что по-Вашему тут будет в качестве $N$ и чему будет равно $k$?

[malimax]

patzer2097, опять поторопился, сейчас поправлю
Ну $N = \mathbb{R}^{n^2}$, a насчет $k$ не уверен, вроде $k = n^2-1$.

[patzer2097]

malimax в сообщении #871071 писал(а):

Ну $N = \mathbb{R}^{n^2}$, a насчет $k$ не уверен, вроде $k = n^2-1$.

Все верно, только я бы написал, что $N$ -- это просто матрицы порядка $n$. Можете теперь доказать Ваше утверждение, если $x$ --- какая-то конкретная матрица, например единичная?

[malimax]

patzer2097, меня смущает, что определитель не векторная функция, а в определении требуется $g:U \rightarrow \mathbb{R}^n$. Т.е. как подобрать диффеоморфизм.

-- 02.06.2014, 21:42 --

Т.к. определитель - непрерывная функция (многочлен же), то можно подобрать некоторую окрестность, на которой будет сохраняться равенство $\det (A) - 1 = 0$

[patzer2097]

malimax в сообщении #871080 писал(а):

в определении требуется $g:U \rightarrow \mathbb{R}^n$.

нет, в Вашем определении под $n$ понимается размерность многообразия $N$, которое у Вас в конкретной задаче - это матрицы

malimax в сообщении #871080 писал(а):

Т.к. определитель - непрерывная функция (многочлен же), то можно подобрать некоторую окрестность, на которой будет сохраняться равенство $\det (A) - 1 = 0$

нет, Вам надо выбрать такие "замены переменных" $\xi_{ij}(X)$ в окрестности любой матрицы из $\operatorname{SL}_2$ и такие индексы $p_1,q_1,\ldots,p_s,q_s$, для которых

$$X\in\operatorname{SL}_2\Leftrightarrow \forall\,i=1...s\,\,\,\xi_{p_i,q_i}=0.$$

Как мы выяснили, $s$ в формуле выше равно... чему? И рассмотрите сначала случай, когда $X$ берется из окрестности единичной матрицы.

[malimax]

patzer2097, хм, рассмотрим единичную матрицу для начала, тогда разложим ее определитель по первой строке, тогда только минор первого будет ненулевым, а остальные обратятся в ноль. Это подойдет в качестве "замены переменных"?

[Oleg Zubelevich]

patzer2097: полезно вспомнить при каких условиях уравнение $F(x)=0,\quad x\in\mathbb{R}^m$ задает многообразие. $dF\ne 0$

[patzer2097]

malimax в сообщении #871110 писал(а):

хм, рассмотрим единичную матрицу для начала, тогда разложим ее определитель по первой строке, тогда только минор первого будет ненулевым, а остальные обратятся в ноль. Это подойдет в качестве "замены переменных"?

не подойдет, я вообще в Вашем тексте мало что понял

кстати да, хотя в Вашем случае эти замены можно выписать явно, в Вашей задаче работает более стандартный подход. Можно проверить условие, о котором написал Oleg Zubelevich. Чему равна частная производная определителя матрицы $(x_{ij})$, составленной из неизвестных, по какой-нибудь переменной $x_{pq}$? Могут ли они все обратиться в нуль в точке из $SL_2$? Что из этого следует?

[malimax]

Цитата:

Чему равна частная производная определителя матрицы $(x_{ij})$, составленной из неизвестных, по какой-нибудь переменной $x_{pq}$?

Разложим по строке p, при дифференцировании все миноры, кроме соответсвущего $x_{pq}$ уйдут, в итоге останется определитель матрицы без p-ой строки и q-ого столбца.

Цитата:

Могут ли они все обратиться в нуль в точке из $SL_2$?

Скорее всего не могут, т.к. определитель равен 1 и хотя бы один минор не будет нулевым.

Цитата:

Что из этого следует?

Без понятия :(
Вы пытаетесь указать на какую-то теорему или про определение?

[patzer2097]

Частные производные Вы нашли правильно, и действительно все сразу в точке из $SL_2$ они в ноль не обращаются. То есть, градиент $\det(X)$ не обращается в ноль нигде на $SL_2$.

Теперь мы попробуем положить $t_{ij}=x_{ij}$ при $(i,j)\neq (n,n)$ и $t_{nn}=\det\,X-1$. Будет ли такое отображение диффеоморфизмом окрестности матрицы $X$ и какой-то окрестности в $\mathbb{R}^{n^2}$? При каких условиях?

[malimax]

Цитата:

Будет ли такое отображение диффеоморфизмом окрестности матрицы $X$ и какой-то окрестности в $\mathbb{R}^{n^2}$? При каких условиях?

Вообще будет, а вот насчет условий не знаю. Вроде ничего не мешает ему быть диффеоморфизмом.
Хотя... его якобиан может быть равен нулю?