2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 19:27 
Доброго времени суток!
Собственно, вопрос: Почему группа матриц с единичным определителем является подмногообразием?

Если обобщить, то определитель матрицы размерности n является многочленом степени n, как этим воспользоваться?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 19:34 
Ну а Вы напишите определение подмногообразия, и на этом решение почти закончится.

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 19:59 
Ой, поторопился, полный вопрос: "почему является гладким подмногообразием?"
Пользуюсь таким определением:
Множество $M \subset N$ является гладким подмногообразием размерности $k$, если $\forall x \in M$ найдется открытая окрестность $U \subset N$ и диффеоморфизм $g:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ такой, что $g(U \cap M) = \{ (x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}|x_{k+1} = ... = x_n = 0\}$.

Определитель является диффеоморфизмом, кроме некоторой окрестности нуля. Но подойдет ли он нам тут?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:02 
надо доказать, что окрестность единицы является гладким многообразием, а потом разнести эту окрестность сдвигами

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:18 
а я думал Вы про алгебраические многообразия 8-) Но все равно, в определении должно быть $x\in M$ и $U\subset N$ вместо того, что у Вас
malimax в сообщении #871064 писал(а):
Множество $M \subset N$ является гладким подмногообразием размерности $k$, если $\forall x \in N$ найдется открытая окрестность $U \subset M$ и диффеоморфизм $g:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ такой, что


А что по-Вашему тут будет в качестве $N$ и чему будет равно $k$?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:22 
patzer2097, опять поторопился, сейчас поправлю :-)
Ну $N = \mathbb{R}^{n^2}$, a насчет $k$ не уверен, вроде $k = n^2-1$.

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:27 
malimax в сообщении #871071 писал(а):
Ну $N = \mathbb{R}^{n^2}$, a насчет $k$ не уверен, вроде $k = n^2-1$.
Все верно, только я бы написал, что $N$ -- это просто матрицы порядка $n$. Можете теперь доказать Ваше утверждение, если $x$ --- какая-то конкретная матрица, например единичная?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:37 
patzer2097, меня смущает, что определитель не векторная функция, а в определении требуется $g:U \rightarrow \mathbb{R}^n$. Т.е. как подобрать диффеоморфизм.

-- 02.06.2014, 21:42 --

Т.к. определитель - непрерывная функция (многочлен же), то можно подобрать некоторую окрестность, на которой будет сохраняться равенство $\det (A) - 1 = 0$

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 20:56 
malimax в сообщении #871080 писал(а):
в определении требуется $g:U \rightarrow \mathbb{R}^n$.

нет, в Вашем определении под $n$ понимается размерность многообразия $N$, которое у Вас в конкретной задаче - это матрицы

malimax в сообщении #871080 писал(а):
Т.к. определитель - непрерывная функция (многочлен же), то можно подобрать некоторую окрестность, на которой будет сохраняться равенство $\det (A) - 1 = 0$
нет, Вам надо выбрать такие "замены переменных" $\xi_{ij}(X)$ в окрестности любой матрицы из $\operatorname{SL}_2$ и такие индексы $p_1,q_1,\ldots,p_s,q_s$, для которых $$X\in\operatorname{SL}_2\Leftrightarrow \forall\,i=1...s\,\,\,\xi_{p_i,q_i}=0.$$

Как мы выяснили, $s$ в формуле выше равно... чему? И рассмотрите сначала случай, когда $X$ берется из окрестности единичной матрицы.

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 21:38 
patzer2097, хм, рассмотрим единичную матрицу для начала, тогда разложим ее определитель по первой строке, тогда только минор первого будет ненулевым, а остальные обратятся в ноль. Это подойдет в качестве "замены переменных"?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 21:41 
patzer2097: полезно вспомнить при каких условиях уравнение $F(x)=0,\quad x\in\mathbb{R}^m$ задает многообразие. $dF\ne 0$

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 21:58 
malimax в сообщении #871110 писал(а):
хм, рассмотрим единичную матрицу для начала, тогда разложим ее определитель по первой строке, тогда только минор первого будет ненулевым, а остальные обратятся в ноль. Это подойдет в качестве "замены переменных"?
не подойдет, я вообще в Вашем тексте мало что понял

кстати да, хотя в Вашем случае эти замены можно выписать явно, в Вашей задаче работает более стандартный подход. Можно проверить условие, о котором написал Oleg Zubelevich. Чему равна частная производная определителя матрицы $(x_{ij})$, составленной из неизвестных, по какой-нибудь переменной $x_{pq}$? Могут ли они все обратиться в нуль в точке из $SL_2$? Что из этого следует?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 22:14 
Цитата:
Чему равна частная производная определителя матрицы $(x_{ij})$, составленной из неизвестных, по какой-нибудь переменной $x_{pq}$?
Разложим по строке p, при дифференцировании все миноры, кроме соответсвущего $x_{pq}$ уйдут, в итоге останется определитель матрицы без p-ой строки и q-ого столбца.
Цитата:
Могут ли они все обратиться в нуль в точке из $SL_2$?
Скорее всего не могут, т.к. определитель равен 1 и хотя бы один минор не будет нулевым.
Цитата:
Что из этого следует?
Без понятия :(
Вы пытаетесь указать на какую-то теорему или про определение?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 22:34 
Частные производные Вы нашли правильно, и действительно все сразу в точке из $SL_2$ они в ноль не обращаются. То есть, градиент $\det(X)$ не обращается в ноль нигде на $SL_2$.

Теперь мы попробуем положить $t_{ij}=x_{ij}$ при $(i,j)\neq (n,n)$ и $t_{nn}=\det\,X-1$. Будет ли такое отображение диффеоморфизмом окрестности матрицы $X$ и какой-то окрестности в $\mathbb{R}^{n^2}$? При каких условиях?

 
 
 
 Re: Почему группа матриц SL(n) является подмногообразием?
Сообщение02.06.2014, 22:51 
Цитата:
Будет ли такое отображение диффеоморфизмом окрестности матрицы $X$ и какой-то окрестности в $\mathbb{R}^{n^2}$? При каких условиях?
Вообще будет, а вот насчет условий не знаю. Вроде ничего не мешает ему быть диффеоморфизмом.
Хотя... его якобиан может быть равен нулю?

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group