Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870363 писал(а):

А вот это уже неверно. Не "работают с ними, как с аппроксимациями", а "работают не с ними, а с аппроксимациями" (и лишь при конкретном счёте, разумеется).

Хорошо, а как Вы докажите полноту вещественных чисел, не глядя на них, как последовательности аппроксимаций? И как вы будете считать с вещественными числами без аппроксимации?

-- 01.06.2014, 08:48 --

ewert в сообщении #870367 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870366 писал(а):

А вот как определяет синус Арнольд: http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2 ... vatern.pdf стр. 6.

Это не в тему. Во-первых, это определение вовсе не Арнольда, а вполне стандартное школьное (Арнольд вообще любит иногда пококетничать). Во-вторых, заметьте, что он даже и не пытается определять угол (т.е. угловую меру).

Да зачем определять, когда и так всё понятно? Только голова заболит, и потом всего не определишь, надо где-то остановиться. Угол же всем понятен и без "угловой меры."

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870369 писал(а):

Хорошо, а как Вы докажите полноту вещественных чисел, не глядя на них, как последовательности аппроксимаций?

Вы что, серьёзно? Есть же масса эквивалентных вариантов формального их введения, и далеко не каждый из них основывается на процедуре аппроксимации. При аксиоматическом подходе полнота вообще имеет место быть просто по определению То, что аппроксимация в любом случае является стимулом к их введению -- вопрос совсем другой. И в любом случае: пока Вы их хоть каким-либо способом не определите -- их, строго говоря, нет.

-- Вс июн 01, 2014 16:56:13 --

mishafromusa в сообщении #870369 писал(а):

Да зачем определять, когда и так всё понятно?

Арнольду -- естественно, незачем, он занят совсем другим. Поэтому и говорю, что пример -- совершенно не в тему.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870373 писал(а):

При аксиоматическом подходе полнота вообще имеет место быть просто по определению

Вот это и есть мифология, которая выхолащивает математические понятия и убивает их понимание.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870378 писал(а):

Вот это и есть мифология, которая выхолащивает математические понятия и убивает их понимание.

Да, если использовать только этот подход. И в точности наоборот, если использовать его в дополнение к другим. Тогда он, напротив, ситуацию проясняет.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870373 писал(а):

пока Вы их хоть каким-либо способом не определите -- их, строго говоря, нет.

Да их ещё Евдокс определил... Определять бесполезно, пока не понят смысл вводимого объекта,

-- 01.06.2014, 09:14 --

ewert в сообщении #870381 писал(а):

Да, если использовать только этот подход. И в точности наоборот, если использовать его в дополнение к другим. Тогда он, напротив, ситуацию проясняет.

Ну так а на кой хрен тогда полнота для длины дуги, когда и так всё ясно?!

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870385 писал(а):

Ну так а на кой хрен тогда полнота для длины дуги, когда и так всё ясно?!

Ага, и про площадь искривлённой поверхности ровно так же всё ясно. Берём сапог Шварца -- и сразу же выясняем, что никакую такую площадь считать вообще не нужно: ответ-то заранее известен...

-- Вс июн 01, 2014 17:24:37 --

mishafromusa в сообщении #870385 писал(а):

Определять бесполезно, пока не понят смысл вводимого объекта,

Смысл -- понятие не математическое.

[sergei1961]

Можно обмениваться мнениями до бесконечности. Предлагаю как вариант такой. Есть конкретная недавняя статья хорошего математика-Ю.И. Любича, участники дискуссии наверняка её знают. Там содержание простое: 1. Цитируется оригинальный источник, который впервые указал на недостаточность доказательства в стандартных курсах анализа (про нестандартные я ничего не говорю). 2. Приводится ряд аргументов-несколько-почему по мнению автора это действительно так. 3. Предлагается вроде бы непротиворечивое доказательство без этих недостатков.

Кажется логичным рассмотреть два вопроса.
1. Какие аргументы в статье кажутся ошибочными, если всё и так хорошо-для тех кто так думает.
2. Какие ещё пути есть исправить просчёты доказательства, оставаясь в пределах разумного-для тех кто так думает.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870581 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870385
писал(а):
Определять бесполезно, пока не понят смысл вводимого объекта,

Смысл -- понятие не математическое.

Но без смысла математика превращается в пустую болтовню.

[patzer2097]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #870651 писал(а):

Есть конкретная недавняя статья хорошего математика-Ю.И. Любича, участники дискуссии наверняка её знают.

А ссылку не дадите, пожалуйста?

[shwedka]

mishafromusa в сообщении #870677 писал(а):

Но без смысла математика превращается в пустую болтовню.

утверждение не доказано

[sergei1961]

Ссылка была в указанных здесь предыдущих реинкарнациях этой темы. Мне сейчас проще саму статью прислать, обращайтесь.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #870566 писал(а):

Ну конечно существует, её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует

Во множестве рациональных чисел - не значит, например.

ewert в сообщении #870573 писал(а):

Да, если говорить по существу, то пополнение -- это результат некоего предельного перехода (кстати, обратите внимание: предельного). Однако до тех пор, пока это понятие не формализовано -- его и не существует.

Когда формализовано - тоже может не существовать. Например, вы доказали единственность? А то знаете, расходящиеся ряды тоже можно долго и с удовольствием суммировать...

-- 01.06.2014 22:04:13 --

ewert в сообщении #870581 писал(а):

Смысл -- понятие не математическое.

Знаком с этим вашим заскоком... Вы так любите быть уверенным, что преподаёте бессмыслицу? Семестр за семестром, год за годом...

[mishafromusa]

patzer2097 в сообщении #870684 писал(а):

А ссылку не дадите, пожалуйста?

http://files.school-collection.edu.ru/d ... 145153.pdf
Мне эта заметка показалась немного надуманной. С синусом никаких проблем и так нет, и его производная совершенно очевидна, если посмотреть на точку, бегающую по единичной окружности. Что касается производной от экспоненты, её легко подсчитать, как производную функции, обратной логарифму, который можно определить через интеграл от $1/x$, как сделал ещё Грегори в середине 17-го века.

-- 01.06.2014, 14:15 --

Munin в сообщении #870700 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870566
писал(а):
Ну конечно существует, её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует
Во множестве рациональных чисел - не значит, например.

Ну зачем к словам цепляться, ведь ясно, о чём речь, и в этом контексте совершенно не важно, рациональное $\pi$ нет, и кстати, длина некоторых дуг и рациональна.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #870703 писал(а):

Ну зачем к словам цепляться, ведь ясно, о чём речь.

Фраза "её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует " как раз и означает, что полноту мы считаем аксиомой.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #870703 писал(а):

Ну зачем к словам цепляться, ведь ясно, о чём речь.

Вам потом правильно сказали про полноту. Это не "ясно, о чём речь", это "ясно, в чём жульничество".