Но нам же для производной от синуса в нуле нужны именно оценки,
Невозможно оценивать несуществующее -- до тех пор, пока его не существует.
Да почему нелегально? Пополнение в том и состоит, что присоединяются аппроксимации.
Вот это и называется нелегальщиной -- говорить о некоем объекте, не упоминая о его существовании. Да, если говорить по существу, то пополнение -- это результат некоего предельного перехода (кстати, обратите внимание:
предельного). Однако до тех пор, пока это понятие не формализовано -- его и не существует. Можно разве что сказать школьникам: "Дети, мамой клянусь -- это можно сделать!". Ну это да, можно.
И работают с ними, как с аппроксимациями,
А вот это уже неверно. Не "
работают с ними, как с аппроксимациями", а "
работают не с ними, а с аппроксимациями" (и лишь при конкретном счёте, разумеется).