Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[ewert]

Munin в сообщении #870239 писал(а):

Если экспонента идейна, то и синус тоже; и наоборот.

Нет. Для показательной функции идейны два определения (примерно в равной мере, т.к. они более-менее эквивалентны):

1) это такая функция, что $a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2};$
1) это такая функция, что $\left(a^x\right)'=\mathrm{const}\cdot a^x.$

Для синусов и косинусов наиболее идейны их периодичность и связь с геометрией, чего непосредственно из дифуров ни разу не усматривается.

[sergei1961]

Кстати, я не говорил, что другие подходы к определению синуса невозможны, и за меня сказали, что они мне неизвестны. Например, такая попытка строго определить число пи и тригфункции делается в курсе Шилова. Вряд ли это подходит для первоначального изложения и обучения, по моему.

[Oleg Zubelevich]

просто сначала появляется вот такой диалог:

Mencey в сообщении #869952 писал(а):

sergei1961 в сообщении #869947 писал(а):

Ещё я не уверен что его работы всегда содержат канонические строгие доказательства, слышал мнение-что таких практически нет, но тут я не специалист, не мне судить.

Вы правы. Абсолютно строгое доказательство — недостижимый идеал.

а потом Ваше высказывание

sergei1961 в сообщении #870074 писал(а):

Стандартное доказательство, которое не является абсолютно строгим. Многие в основах анализа. Некоторые здесь уже обсуждали. Например, доказательство стандартного предела с синусом. Используется недоказанное существование пи, а также формула площади круга или сектора, требующая интеграла.

и где тут понять, что речь идет не принципиальной невозможности построить строгую теорию, а о какой-то там методике преподавания.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870132 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870115
писал(а):
для доказательства достаточны лишь оценки длины дуги, получаемые из элементарной геометрии, а не их точные значения.
Тут проблема вовсе не в точном значении, а в корректности самого понятия длины дуги. Для которого, впрочем, действительно достаточно элементарной геометрии. Почти достаточно: без представления о вещественных числах всё-таки не обойтись.

Да зачем вещественные числа (да ещё все сразу)?! Можно же просто сказать, что длина дуги больше длины любой вписанной ломаной и меньше длины любой описанной ломаной, это всем понятно, и все оценки замечательно получаются.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #870323 писал(а):

Да зачем вещественные числа (да ещё все сразу)?! Можно же просто сказать, что длина дуги больше длины любой вписанной ломаной и меньше длины любой описанной ломаной, это всем понятно, и все оценки замечательно получатся.

Вообще говоря, надо еще доказать, что длина дуги существует.

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #870324 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870323 писал(а):

Да зачем вещественные числа (да ещё все сразу)?! Можно же просто сказать, что длина дуги больше длины любой вписанной ломаной и меньше длины любой описанной ломаной, это всем понятно, и все оценки замечательно получатся.

Вообще говоря, надо еще доказать, что длина дуги существует.

Ну конечно существует, её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует, и даже единственна, или как по-Вашему? Начать тут со школьниками разговор о сечениях Дедекинда или последовательностях Коши? Про бесконечные десятичные дроби и их округления можно с ними и поговорить, впрочем

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #870256 писал(а):

аиболее идейны их периодичность и связь с геометрией, чего непосредственно из дифуров ни разу не усматривается.

после нескольких тривиальных наблюдений усматривается

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870328 писал(а):

Начать тут со школьниками разговор о сечениях Дедекинда или последовательностях Коши?

Безусловно. При честном изложении. То, что для обычных школьников абсолютная честность вовсе не обязательна -- это уже другой вопрос.

А вот для студентов пусть даже и технарей -- уже обязательна. Хотя бы на аксиоматическом уровне, и пусть даже без формального обоснования аксиоматики, но -- обязательна. Поскольку с понятием полноты они ещё не раз столкнутся (во всяком случае, многие из них).

-- Вс июн 01, 2014 15:54:38 --

mishafromusa в сообщении #870328 писал(а):

её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует, и даже единственна, или как по-Вашему?

По-нашему это означает, что Вы пытаетесь протащить понятие полноты нелегально, не только не поминая её по имени, но и всячески препятствуя тому, чтобы хоть кто-нибудь о ней догадался.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870338 писал(а):

Безусловно. При честном изложении.

Но нам же для производной от синуса в нуле нужны именно оценки, а не какое-то мифическое "существование."

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #870328 писал(а):

Ну конечно существует, её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует, и даже единственна, или как по-Вашему? Начать тут со школьниками разговор о сечениях Дедекинда или последовательностях Коши?

Почему нет? Мне рассказывали в 11 классе. Тем более, что сказать-то надо только вот это:

mishafromusa в сообщении #870328 писал(а):

Ну конечно существует, её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует, и даже единственна, или как по-Вашему?

[bot]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #870340 писал(а):

а не какое-то мифическое "существование

Существование бывает мифическим, только если его нету.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #870340 писал(а):

Вы пытаетесь протащить понятие полноты нелегально, не только не поминая её по имени, но и всячески препятствуя тому, чтобы хоть кто-нибудь о ней догадался.

Да почему нелегально? Пополнение в том и состоит, что присоединяются аппроксимации. И работают с ними, как с аппроксимациями, и теоремы о полноте доказывают при помощи аппроксимации. И если разобраться сначала в конкретных примерах (как и рекомендует Арнольд), то будет больше шансов понять высокопарную терминологию, такую как "полнота."

-- 01.06.2014, 08:16 --

bot в сообщении #870343 писал(а):

Существование бывает мифическим, только если его нету.

Или когда оно выводится из других мифов.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870340 писал(а):

Но нам же для производной от синуса в нуле нужны именно оценки,

Невозможно оценивать несуществующее -- до тех пор, пока его не существует.

mishafromusa в сообщении #870347 писал(а):

Да почему нелегально? Пополнение в том и состоит, что присоединяются аппроксимации.

Вот это и называется нелегальщиной -- говорить о некоем объекте, не упоминая о его существовании. Да, если говорить по существу, то пополнение -- это результат некоего предельного перехода (кстати, обратите внимание: предельного). Однако до тех пор, пока это понятие не формализовано -- его и не существует. Можно разве что сказать школьникам: "Дети, мамой клянусь -- это можно сделать!". Ну это да, можно.

mishafromusa в сообщении #870347 писал(а):

И работают с ними, как с аппроксимациями,

А вот это уже неверно. Не "работают с ними, как с аппроксимациями", а "работают не с ними, а с аппроксимациями" (и лишь при конкретном счёте, разумеется).

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870174 писал(а):

определение можно вводить по-разному

А вот как определяет синус Арнольд: http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2 ... vatern.pdf стр. 6.

-- 01.06.2014, 08:35 --

ewert в сообщении #870363 писал(а):

Вот это и называется нелегальщиной -- говорить о некоем объекте, не упоминая о его существовании.

А что изменится от того, что "существование" упомянуто в данном случае? Это же пустая игра в слова, аппроксимация описывает длину дуги вполне адэкватно, и "существование" здесь просто красивое слово.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870366 писал(а):

А вот как определяет синус Арнольд: http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2 ... vatern.pdf стр. 6.

Это не в тему. Во-первых, это определение вовсе не Арнольда, а вполне стандартное школьное (Арнольд вообще любит иногда пококетничать). Во-вторых, заметьте, что он даже и не пытается определять угол (т.е. угловую меру).