Плоскость без точки не односвязна

[Sul]

...Осознал, что здесь требуется даже больше, чем непрерывность... иначе как взять частную производную по $t$. Но в таком случае это уже какая-то необычная гомотопия. То есть таким способом мы докажем, что если для двух кривых есть вот такая "гладкая" гомотопия (когда подынтегральная функция дифференцируема по $t$ ), то интегралы действительно совпадают. Но этого недостаточно, вдруг есть просто непрерывное отображение?

[svv]

Да, для просто непрерывной гомотопии это не проходит. Я думал, что

Sul в сообщении #870101 писал(а):

То есть таким способом мы докажем, что если для двух кривых есть вот такая "гладкая" гомотопия (когда подынтегральная функция дифференцируема по $t$ ), то интегралы действительно совпадают.

— это для Вас уже что-то. Возможно, это отправная точка более общего доказательства.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #869839 писал(а):

Sul в сообщении #869835
писал(а):
Легко ли это доказать, и если нет, где можно почитать об этом?
Почитайте про дифференциальные формы.

Посмотрите в первой главе книжки Algebraic Topology: A First Course by William Fulton или Bott,Tu, Differential Forms in Algebraic.Topology, не знаю. переведены ли они на русский. Б.В, Шабат, Введение в комплексный анализ, часть 1, глава про интегрирование тоже может помочь.