Плоскость без точки не односвязна

[Sul]

Область на плоскости назовем односвязной, если любые две кривые с общим началом и общим концом в ней гомотопны.

Требуется доказать, что плоскость без точки не является односвязной областью. Желательно сделать это аналитическими методами.

План был следующий: воспользоваться критерием потенциальности векторного поля на односвязной области, а именно:

Цитата:

Пусть $D - односвязная область на плоскости. Тогда$ \overrightarrow{a}=(P, Q) $\in$ C^1(D) $ - потенциальное поле $ \Leftrightarrow $$\frac{\partial Q}{\partial x}$$ = $$\frac{\partial P}{\partial y}$$ $ на $ D$

Если использовать этот критерий, то возьмем, например, поле: $\overrightarrow{a}=(P, Q) = \left( \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2} \right)$, определенное везде, кроме точки $\left(0,0\right)$. Для него соответствующие частные производные равны, однако если посчитать интеграл по окружности с центром в нуле, он окажется равным $2\pi$. Значит, поле не потенциально, и плоскость без точки - не односвязная область.

Однако в известном мне доказательстве этого критерия потенциальности, уже предполагается известным, что односвязность области на плоскости равносильна тому, что эта область "без дырок" (т.е. для любого кусочного гладкого простого контура существует правильная область, для которой этот контур будет границей), а если это доказано, то и про плоскость без точки все становится ясно.

Но вот как доказать это замечание, про "без дырок", я не знаю. Интуитивно понятно, но от интуиции до формализации далеко...

Наверняка есть и другие методы. У кого какие идеи?

[g______d]

Sul в сообщении #869788 писал(а):

Область на плоскости назовем односвязной, если любые две кривые с общим началом и общим концом в ней гомотопны.

Переформулируйте это утверждение в виде "любая замкнутая кривая гомотопна константе". Далее возьмите Ваше поле $\overrightarrow{a}$ и докажете, что если $C_1$ и $C_2$ — замкнутые гомотопные кривые, то циркуляции поля по ним должны совпадать. Наконец, найдите две кривые, для которых они не совпадают.

-- Пт, 30 май 2014 17:02:56 --

Sul в сообщении #869788 писал(а):

Наверняка есть и другие методы. У кого какие идеи?

Можно еще стандартным способом: плоскость без точки гомотопически эквивалентна окружности, гомотопическая эквивалентность строится руками. Действуя гомотопической эквивалентностью, получаем, что если на плоскости любые две кривые гомотопны, то так должно быть и на окружности. С окружностью, наверное, как-нибудь справитесь.

[Sul]

Насчет того, что в односвязной области все замкнутые кривые гомотопны - понятно. Но вот равенство интегралов по замкнутым гомотопным кривым мне кажется совсем не очевидным...не знаю чем тут можно воспользоваться...

[mishafromusa]

Другой подход: можно посчитать, сколько раз ваше векторное поле поворачивается, когда точка пробегает замкнутый непрерывный контур, и проверить, что это число не меняется при непрерывной деформации контура. Это тоже даст решение задачи.

[Sul]

Меня очень заинтриговало, что интегралы по гомотопным контурам совпадают. Легко ли это доказать, и если нет, где можно почитать об этом?

[mishafromusa]

Sul в сообщении #869833 писал(а):

Насчет того, что в односвязной области все замкнутые кривые гомотопны - понятно. Но вот равенство интегралов по замкнутым гомотопным кривым мне кажется совсем не очевидным...не знаю чем тут можно воспользоваться...

Можно воспользоваться аппроксимацией непрерывных контуров многоугольниками, для которых всё просто.

[Sul]

Цитата:

Можно воспользоваться аппроксимацией непрерывных контуров многоугольниками, для которых всё просто.

Хм, ну допустим раз он спрямляем, то действительно "приближается" некоторой замкнутой ломанной. При гомотопии она переходит в другую замкнутую ломанную. И почему интеграл по этим ломанным совпадает?

[mishafromusa]

Sul в сообщении #869838 писал(а):

И почему интеграл по этим ломанным совпадает?

А потому, что дифференциальная форма (т.е. ваше векторное поле) замкнута (т.е. удовлетворяет уравнению для локальной потенциальности), многоугольники гомотопны и гомотопию между ними можно взять кусочно-линейной.

-- 30.05.2014, 21:34 --

Можно сделать и так: сгладить контуры и гомотопию, перетащить дифференциальную форму на квадрат параметров контуров и гомотопии, и применить теорему Грина на этом квадрате.

-- 30.05.2014, 21:49 --

Sul в сообщении #869835 писал(а):

Легко ли это доказать, и если нет, где можно почитать об этом?

Почитайте про дифференциальные формы.

[ratay]

Как-то вы незаметно перешли от плоскости к векторному полю на плоскости, то есть к некоторому расширению ее, структуре, заданной на ней.

[mishafromusa]

Sul в сообщении #869788 писал(а):

Желательно сделать это аналитическими методами.

[g______d]

Sul в сообщении #869838 писал(а):

Хм, ну допустим раз он спрямляем, то действительно "приближается" некоторой замкнутой ломанной. При гомотопии она переходит в другую замкнутую ломанную. И почему интеграл по этим ломанным совпадает?

Можно применить формулу Грина к пространству между этими ломаными. Если они не пересекаются, то всё понятно, а если пересекаются, то надо аккуратно определить "между".

[Sul]

Цитата:

Можно применить формулу Грина к пространству между этими ломаными.

Ну вот например в рассматриваемом мною примере, формулу Грина применить не получится, ибо даже если приблизить окружность многоугольником, все равно он не будет являться границей области (из-за выколотой точки в середине) .

[Oleg Zubelevich]

вводим полярные координаты. форма $d\varphi$ замкнута но не точна

[svv]

Sul в сообщении #869835 писал(а):

Меня очень заинтриговало, что интегралы по гомотопным контурам совпадают. Легко ли это доказать, и если нет, где можно почитать об этом?

Может, можно проверить это непосредственно?
$\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{\gamma_t} \omega=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{\gamma_t} \omega_i\;dx^i=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_a^b \omega_i \;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda=\int\limits_a^b \frac{\partial}{\partial t}\left(\omega_i \;\frac{dx^i}{d\lambda}\right)\;d\lambda=$
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda+\int\limits_a^b \omega_k\;\frac{\partial^2 x^k}{\partial\lambda\partial t}\;d\lambda$
Второй интеграл берем по частям. На концах $\frac{\partial x^k}{\partial t}$ обращается в $0$.
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda-\int\limits_a^b \frac{\partial\omega_k}{\partial \lambda}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;d\lambda$
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda-\int\limits_a^b \frac{\partial\omega_k}{\partial x^i}\;\frac{\partial x^i}{\partial \lambda}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;d\lambda$
$=\int\limits_a^b\left(\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\frac{\partial\omega_k}{\partial x^i}\right)\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda=0$
Обозначения понятны? Семейство кривых $\gamma_t$, зависящих от параметра (гомотопии) $t\in[0,1]$, $\lambda\in[a,b]$ — параметр каждой из кривых, $\omega=\omega_i\;dx^i$ — замкнутая форма. Нужные гладкости предполагаются.

[Sul]

svv в сообщении #869927 писал(а):

Sul в сообщении #869835 писал(а):

Меня очень заинтриговало, что интегралы по гомотопным контурам совпадают. Легко ли это доказать, и если нет, где можно почитать об этом?

Может, можно проверить это непосредственно?
$\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{\gamma_t} \omega=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{\gamma_t} \omega_i\;dx^i=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_a^b \omega_i \;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda=\int\limits_a^b \frac{\partial}{\partial t}\left(\omega_i \;\frac{dx^i}{d\lambda}\right)\;d\lambda=$
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda+\int\limits_a^b \omega_k\;\frac{\partial^2 x^k}{\partial\lambda\partial t}\;d\lambda$
Второй интеграл берем по частям. На концах $\frac{\partial x^k}{\partial t}$ обращается в $0$.
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda-\int\limits_a^b \frac{\partial\omega_k}{\partial \lambda}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;d\lambda$
$=\int\limits_a^b\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda-\int\limits_a^b \frac{\partial\omega_k}{\partial x^i}\;\frac{\partial x^i}{\partial \lambda}\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;d\lambda$
$=\int\limits_a^b\left(\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\frac{\partial\omega_k}{\partial x^i}\right)\;\frac{\partial x^k}{\partial t}\;\frac{\partial x^i}{\partial\lambda}\;d\lambda=0$
Обозначения понятны? Семейство кривых $\gamma_t$, зависящих от параметра (гомотопии) $t\in[0,1]$, $\lambda\in[a,b]$ — параметр каждой из кривых, $\omega=\omega_i\;dx^i$ — замкнутая форма. Нужные гладкости предполагаются.

Как здесь используется непрерывность отображения, переводящего одну кривую в другую?