Теорема о гомоморфизмах групп

[eg__13]

Столкнулся с небольшой проблемой при решении следующей задачи.

Пусть $G$ - мультипликативная группа всевозможных троек целых чисел с бинарной операцией $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$, $H$=$\left\langle (1, 0, 0)\right\rangle$ - ее подгруппа.
Доказать, что факторгруппа ${G/H}$ изоморфна аддитивной группе целых гауссовых чисел.

Моё решение. Хотя это больше подгон под условия теоремы о гомоморфизмах.

Зададим отображение $\varphi$ таким образом, чтобы ${\varphi(1,0,0)=0}$:

$$(k_1, k_2, k_3)\mapsto (k_2+ik_3).$$

Тогда

$$\varphi((k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3}))=\varphi(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})=(k_{2}+l_{2})+i(k_{3}+l_{3}).$$

Т.е.

$$\varphi((k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3}))=\varphi(k_{1},k_{2},k_{3})+\varphi(l_{1},l_{2},l_{3})$$

и $\varphi$ - гомоморфизм из $G$ в ${\mathbb Z[i]}$ и $Im (\varphi)={\mathbb Z[i]}$
И дальше хочется сказать, что раз $\varphi(1,0,0)=0$, то $H=Ker(\varphi)$. И по теореме о гомоморфизмах $\mathbb Z[i]\cong G/H$.
Но не успел я порадоваться решенной задаче, как увидел, что $Ker(\varphi)$ состоит не только из элемента $(1,0,0)$ но еще и из $(0,0,0)$.
Собственно в этом и состоит загвоздка.

Заранее спасибо за вашу помощь!

[patzer2097]

eg__13 в сообщении #869692 писал(а):

Пусть $G$ - мультипликативная группа всевозможных троек целых чисел с бинарной операцией $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$

у Вас $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$, так что $G$ -- не группа

[eg__13]

patzer2097 в сообщении #869699 писал(а):

у Вас $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$, так что $G$ -- не группа

Не совсем понимаю, как равенство $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$ может означать, что $G$ -- не группа.

[patzer2097]

в группах все элементы обратимы, поэтому $ab=ac$ влечет $b=c$

[eg__13]

patzer2097, я при наборе допустил ошибку , там в условии на самом деле так: $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$, а не так: $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$.
Но вопроса это не снимает

[patzer2097]

eg__13 в сообщении #869692 писал(а):

Зададим отображение $\varphi$ таким образом, чтобы ${\varphi(1,0,0)=0}$:

$$(k_1, k_2, k_3)\mapsto (k_2+ik_3).$$

такая формулировка уже не совсем правильная, изомофризм должен быть из $G/H$ в гауссовы числа. А что является элементами $G/H$? И что такое изоморфизм, т.е., какие условия проверять нужно для решения задачи?

[takeover]

eg__13 в сообщении #869692 писал(а):

аддитивной группе целых гауссовых чисел

Не понимаю, зачем тут упоминать "гауссовы числа", если можно было бы сказать просто $(\mathbb{Z}^2,+)$. Не мультипликативная ли группа была в задании?
Ну а если так..
Чем является $(0,0,0)$ для $G$?

[eg__13]

patzer2097 в сообщении #869741 писал(а):

А что является элементами $G/H$? И что такое изоморфизм, т.е., какие условия проверять нужно для решения задачи?

$G/H$ состоит из троек целых чисел, как и группа $G$. Т.е. $G/H$ - группа, образованная смежными классами групы $G$ по подгруппе $H$, и в каждом из смежных классов находится один элемент. А чем тогда $G$ отличается от $G/H$?
А насчент того, какие условия нужно проверять.. ну, наверное, то что между элементами групп $G/H$ и $\mathbb{Z}[i]$ существует инъекция и и каждый элемент из $\mathbb{Z}[i]$ имеет хотябы один прообраз в $G/H$ (или наоборот).

takeover в сообщении #869826 писал(а):

Не понимаю, зачем тут упоминать "гауссовы числа", если можно было бы сказать просто $(\mathbb{Z}^2,+)$. Не мультипликативная ли группа была в задании?

Нет, в задании все так и было, как у меня написано.

patzer2097 в сообщении #869741 писал(а):

Чем является $(0,0,0)$ для $G$?

$(0,0,0)$ - это единичный элемент в $G$. И вот тут я, видимо, должен сделать какой-то очевидный вывод, но для меня он не совсем очевиден.

[green_orange]

eg__13 в сообщении #869692 писал(а):

Но не успел я порадоваться решенной задаче, как увидел, что $\operatorname{Ker}(\varphi)$ состоит не только из элемента $(1,0,0)$ но еще и из $(0,0,0)$.
Собственно в этом и состоит загвоздка.

А разве Вам нужно, чтобы $\operatorname{Ker}\varphi$ состоял из одного элемента (1,0,0)? Ведь $H$ состоит не из одного элемента.

eg__13 в сообщении #869879 писал(а):

Т.е. $G/H$ - группа, образованная смежными классами групы $G$ по подгруппе $H$, и в каждом из смежных классов находится один элемент. А чем тогда $G$ отличается от $G/H$?

В смежных классах не по одному элементу. Напишите, из каких троек состоит $H$, что есть смежные классы по ней.

[eg__13]

ааа, вот оно что. Я почему-то не обратил внимания на скобочки $\left\langle \right\rangle$ у $H$. Значит $H$ состоит из троек вида $(i, 0, 0)$, где $i=\ldots, -n, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, n, \ldots$
Тогда $G/H$ состоит из из смежных классов, в одном из которых (я правда не уверен совсем) элементы вида $(i, 0, 0)$, в другом $(i,0,1)$, в третьем к примеру $(i, 2, 0)$ и так далее. Так?

[green_orange]

eg__13 в сообщении #869891 писал(а):

Тогда $G/H$ состоит из из смежных классов, в одном из которых (я правда не уверен совсем) элементы вида $(i, 0, 0)$, в другом $(i,0,1)$, в третьем к примеру $(i, 2, 0)$ и так далее. Так?

Да, один класс - это все тройки, у которых совпадает первая компонента. А как записать операцию в факторгруппе в терминах этих классов?

[eg__13]

green_orange в сообщении #869893 писал(а):

Да, один класс - это все тройки, у которых совпадает первая компонента.

А я почему-то думал, наоборот, что один класс из $G/H$ - это все тройки, у которых две последние компоненты совпадают.

green_orange в сообщении #869893 писал(а):

А как записать операцию в факторгруппе в терминах этих классов?

Операцию $*$ для элементов из разных классов?

[green_orange]

eg__13 в сообщении #869907 писал(а):

А я почему-то думал, наоборот, что один класс из $G/H$ - это все тройки, у которых две последние компоненты совпадают.

Да, извините, всё так и есть.

eg__13 в сообщении #869907 писал(а):

Операцию $*$ для элементов из разных классов?

Пусть у нас есть элементы из $(i,a_1,b_1)$ и из $(j,a_2,b_2$). Тогда можно определить, к какому классу принадлежит их произведение.

(Оффтоп)

И звёздочку так лучше не писать. Можно вообще опускать знак умножения, можно писать \cdot или \ast, если уж нужна звёздочка.

[eg__13]

green_orange в сообщении #869909 писал(а):

Пусть у нас есть элементы из $(i,a_1,b_1)$ и из $(j,a_2,b_2$). Тогда можно определить, к какому классу принадлежит их произведение.

Произведение будет принадлежать к классу, в котором у всех элементов первый компонент равен $i+(-1)^{b_1}j$. А что это нам дает?

[green_orange]

Класс не первой компонентой определяется, а второй и третьей, Вы всё правильно написали. Первый не надо искать.