2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 21:32 
Аватара пользователя


03/01/12
32
Столкнулся с небольшой проблемой при решении следующей задачи.

Пусть $G$ - мультипликативная группа всевозможных троек целых чисел с бинарной операцией $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$, $H$=$\left\langle (1, 0, 0)\right\rangle$ - ее подгруппа.
Доказать, что факторгруппа ${G/H}$ изоморфна аддитивной группе целых гауссовых чисел.

Моё решение. Хотя это больше подгон под условия теоремы о гомоморфизмах.

Зададим отображение $\varphi$ таким образом, чтобы ${\varphi(1,0,0)=0}$: $$(k_1, k_2, k_3)\mapsto (k_2+ik_3).$$

Тогда
$$\varphi((k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3}))=\varphi(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})=(k_{2}+l_{2})+i(k_{3}+l_{3}).$$ Т.е.
$$\varphi((k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3}))=\varphi(k_{1},k_{2},k_{3})+\varphi(l_{1},l_{2},l_{3})$$ и $\varphi$ - гомоморфизм из $G$ в ${\mathbb Z[i]}$ и $Im (\varphi)={\mathbb Z[i]}$
И дальше хочется сказать, что раз $\varphi(1,0,0)=0$, то $H=Ker(\varphi)$. И по теореме о гомоморфизмах $\mathbb Z[i]\cong G/H$.
Но не успел я порадоваться решенной задаче, как увидел, что $Ker(\varphi)$ состоит не только из элемента $(1,0,0)$ но еще и из $(0,0,0)$.
Собственно в этом и состоит загвоздка.

Заранее спасибо за вашу помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 21:45 
Заслуженный участник


14/03/10
867
eg__13 в сообщении #869692 писал(а):
Пусть $G$ - мультипликативная группа всевозможных троек целых чисел с бинарной операцией $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$
у Вас $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$, так что $G$ -- не группа

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 21:57 
Аватара пользователя


03/01/12
32
patzer2097 в сообщении #869699 писал(а):
у Вас $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$, так что $G$ -- не группа


Не совсем понимаю, как равенство $(0,0,0)*(1,0,0)=(0,0,0)*(2,0,0)$ может означать, что $G$ -- не группа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 22:00 
Заслуженный участник


14/03/10
867
в группах все элементы обратимы, поэтому $ab=ac$ влечет $b=c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 22:06 
Аватара пользователя


03/01/12
32
patzer2097, я при наборе допустил ошибку :facepalm: , там в условии на самом деле так: $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_1, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$, а не так: $(k_{1},k_{2},k_{3})*(l_{1},l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}, k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$.
Но вопроса это не снимает :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение30.05.2014, 22:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867
eg__13 в сообщении #869692 писал(а):
Зададим отображение $\varphi$ таким образом, чтобы ${\varphi(1,0,0)=0}$: $$(k_1, k_2, k_3)\mapsto (k_2+ik_3).$$
такая формулировка уже не совсем правильная, изомофризм должен быть из $G/H$ в гауссовы числа. А что является элементами $G/H$? И что такое изоморфизм, т.е., какие условия проверять нужно для решения задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 01:45 


23/05/14
33
eg__13 в сообщении #869692 писал(а):
аддитивной группе целых гауссовых чисел

Не понимаю, зачем тут упоминать "гауссовы числа", если можно было бы сказать просто $(\mathbb{Z}^2,+)$. Не мультипликативная ли группа была в задании?
Ну а если так..
Чем является $(0,0,0)$ для $G$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 10:48 
Аватара пользователя


03/01/12
32
patzer2097 в сообщении #869741 писал(а):
А что является элементами $G/H$? И что такое изоморфизм, т.е., какие условия проверять нужно для решения задачи?

$G/H$ состоит из троек целых чисел, как и группа $G$. Т.е. $G/H$ - группа, образованная смежными классами групы $G$ по подгруппе $H$, и в каждом из смежных классов находится один элемент. А чем тогда $G$ отличается от $G/H$?
А насчент того, какие условия нужно проверять.. ну, наверное, то что между элементами групп $G/H$ и $\mathbb{Z}[i]$ существует инъекция и и каждый элемент из $\mathbb{Z}[i]$ имеет хотябы один прообраз в $G/H$ (или наоборот).
takeover в сообщении #869826 писал(а):
Не понимаю, зачем тут упоминать "гауссовы числа", если можно было бы сказать просто $(\mathbb{Z}^2,+)$. Не мультипликативная ли группа была в задании?

Нет, в задании все так и было, как у меня написано.
patzer2097 в сообщении #869741 писал(а):
Чем является $(0,0,0)$ для $G$?

$(0,0,0)$ - это единичный элемент в $G$. И вот тут я, видимо, должен сделать какой-то очевидный вывод, но для меня он не совсем очевиден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 11:08 


18/12/13
30
Новосибирск
eg__13 в сообщении #869692 писал(а):
Но не успел я порадоваться решенной задаче, как увидел, что $\operatorname{Ker}(\varphi)$ состоит не только из элемента $(1,0,0)$ но еще и из $(0,0,0)$.
Собственно в этом и состоит загвоздка.

А разве Вам нужно, чтобы $\operatorname{Ker}\varphi$ состоял из одного элемента (1,0,0)? Ведь $H$ состоит не из одного элемента.
eg__13 в сообщении #869879 писал(а):
Т.е. $G/H$ - группа, образованная смежными классами групы $G$ по подгруппе $H$, и в каждом из смежных классов находится один элемент. А чем тогда $G$ отличается от $G/H$?
В смежных классах не по одному элементу. Напишите, из каких троек состоит $H$, что есть смежные классы по ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 11:39 
Аватара пользователя


03/01/12
32
ааа, вот оно что. Я почему-то не обратил внимания на скобочки $\left\langle \right\rangle$ у $H$. Значит $H$ состоит из троек вида $(i, 0, 0)$, где $i=\ldots, -n, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, n, \ldots$
Тогда $G/H$ состоит из из смежных классов, в одном из которых (я правда не уверен совсем) элементы вида $(i, 0, 0)$, в другом $(i,0,1)$, в третьем к примеру $(i, 2, 0)$ и так далее. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 11:45 


18/12/13
30
Новосибирск
eg__13 в сообщении #869891 писал(а):
Тогда $G/H$ состоит из из смежных классов, в одном из которых (я правда не уверен совсем) элементы вида $(i, 0, 0)$, в другом $(i,0,1)$, в третьем к примеру $(i, 2, 0)$ и так далее. Так?
Да, один класс - это все тройки, у которых совпадает первая компонента. А как записать операцию в факторгруппе в терминах этих классов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 13:16 
Аватара пользователя


03/01/12
32
green_orange в сообщении #869893 писал(а):
Да, один класс - это все тройки, у которых совпадает первая компонента.

А я почему-то думал, наоборот, что один класс из $G/H$ - это все тройки, у которых две последние компоненты совпадают.
green_orange в сообщении #869893 писал(а):
А как записать операцию в факторгруппе в терминах этих классов?

Операцию $*$ для элементов из разных классов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 13:21 


18/12/13
30
Новосибирск
eg__13 в сообщении #869907 писал(а):
А я почему-то думал, наоборот, что один класс из $G/H$ - это все тройки, у которых две последние компоненты совпадают.
Да, извините, всё так и есть.
eg__13 в сообщении #869907 писал(а):
Операцию $*$ для элементов из разных классов?
Пусть у нас есть элементы из $(i,a_1,b_1)$ и из $(j,a_2,b_2$). Тогда можно определить, к какому классу принадлежит их произведение.

(Оффтоп)

И звёздочку так лучше не писать. Можно вообще опускать знак умножения, можно писать \cdot или \ast, если уж нужна звёздочка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 13:47 
Аватара пользователя


03/01/12
32
green_orange в сообщении #869909 писал(а):
Пусть у нас есть элементы из $(i,a_1,b_1)$ и из $(j,a_2,b_2$). Тогда можно определить, к какому классу принадлежит их произведение.

Произведение будет принадлежать к классу, в котором у всех элементов первый компонент равен $i+(-1)^{b_1}j$. А что это нам дает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о гомоморфизмах групп
Сообщение31.05.2014, 13:53 


18/12/13
30
Новосибирск
Класс не первой компонентой определяется, а второй и третьей, Вы всё правильно написали. Первый не надо искать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group