Аддитивная функция

[VTV]

Существует ли аддитивная, но не однородная функция $f:[0,1]\to [0,1]$ ?

[Otta]

Существует, если нет никаких ограничений (типа непрерывности и др. - в ссылке они упомянуты).

[g______d]

VTV в сообщении #869428 писал(а):

функция $f:[0,1]\to [0,1]$ ?

Довольно странное условие. У аддитивных функций область определения обычно замкнута относительно сложения. Что в точности здесь понимается под аддитивностью?

[Brukvalub]

На заре этого форума здесь обсуждалась данная тема (если я ничего не путаю, то Руст предлагал для решения соответствующую задачу, поэтому тему можно найти по логу его сообщений).

[g______d]

Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?

[Brukvalub]

g______d в сообщении #869506 писал(а):

Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?

Я сначала не обратил внимания на это несуразное ограничение областей определения и значений, сейчас - обратил и тоже возмущен!

[VTV]

g______d в сообщении #869506 писал(а):

Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?

да, именно это имеется ввиду.

-- Пт май 30, 2014 15:03:52 --

Otta в сообщении #869436 писал(а):

Существует, если нет никаких ограничений (типа непрерывности и др. - в ссылке они упомянуты).

Спасибо Вам большое!

Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.

-- Пт май 30, 2014 15:13:14 --

нашел среди условий в Википедии, что если функция ограничена на некотором интервале, то она линейна.

[g______d]

VTV в сообщении #869570 писал(а):

Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.

Формально говоря, это для функций, заданных на $\mathbb R$. Т. е. надо доказать, что аддитивная на $[0,1]$ функция продолжается до аддитивной на $\mathbb R$. Это, вроде бы, несложное упражнение.

[VTV]

g______d в сообщении #869659 писал(а):

VTV в сообщении #869570 писал(а):

Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.

Формально говоря, это для функций, заданных на $\mathbb R$. Т. е. надо доказать, что аддитивная на $[0,1]$ функция продолжается до аддитивной на $\mathbb R$. Это, вроде бы, несложное упражнение.

Можно просто взять сужение функций из $\mathbb{R}$ на $[0,1]$. Но интереснее немного другое. Так как моя функция должна действовать в $[0,1]$, то она ограничена. А для аддитивной функции на $\mathbb{R}$, которая ограничена на некотором интервале, известно, что она линейна. То есть, ответ на мой вопрос: "Нет. Не существует".

[g______d]

VTV в сообщении #869728 писал(а):

Можно просто взять сужение функций из $\mathbb{R}$ на $[0,1]$.

Тогда придется отвечать, почему любая функция, аддитивная на $[0,1]$ по Вашему определению, будет сужением некоторой аддитивной функции на $\mathbb R$.

[VTV]

Может, доопределить по аддитивности из $[0,1]$ на $\mathbb{R}$? Например, так:$f(x)=[x]f(1)+f(\{x\})$.