2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Аддитивная функция
Сообщение29.05.2014, 23:52 
Существует ли аддитивная, но не однородная функция $f:[0,1]\to [0,1]$ ?

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 00:10 
Существует, если нет никаких ограничений (типа непрерывности и др. - в ссылке они упомянуты).

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 00:27 
Аватара пользователя
VTV в сообщении #869428 писал(а):
функция $f:[0,1]\to [0,1]$ ?


Довольно странное условие. У аддитивных функций область определения обычно замкнута относительно сложения. Что в точности здесь понимается под аддитивностью?

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 09:29 
Аватара пользователя
На заре этого форума здесь обсуждалась данная тема (если я ничего не путаю, то Руст предлагал для решения соответствующую задачу, поэтому тему можно найти по логу его сообщений).

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 09:41 
Аватара пользователя
Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 10:05 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #869506 писал(а):
Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?
Я сначала не обратил внимания на это несуразное ограничение областей определения и значений, сейчас - обратил и тоже возмущен!

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 13:58 
g______d в сообщении #869506 писал(а):
Так а что, всё-таки, понимается под аддитивностью? Равенство $f(x)+f(y)=f(x+y)$ при условии, что $x,y,x+y\in [0,1]$?


да, именно это имеется ввиду.

-- Пт май 30, 2014 15:03:52 --

Otta в сообщении #869436 писал(а):
Существует, если нет никаких ограничений (типа непрерывности и др. - в ссылке они упомянуты).


Спасибо Вам большое!

Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.

-- Пт май 30, 2014 15:13:14 --

нашел среди условий в Википедии, что если функция ограничена на некотором интервале, то она линейна.

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 20:16 
Аватара пользователя
VTV в сообщении #869570 писал(а):
Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.


Формально говоря, это для функций, заданных на $\mathbb R$. Т. е. надо доказать, что аддитивная на $[0,1]$ функция продолжается до аддитивной на $\mathbb R$. Это, вроде бы, несложное упражнение.

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 22:18 
g______d в сообщении #869659 писал(а):
VTV в сообщении #869570 писал(а):
Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в $\mathbb{R}^2$, а это значит, что она неограничена на отрезке $[0,1]$, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в $[0,1]$.


Формально говоря, это для функций, заданных на $\mathbb R$. Т. е. надо доказать, что аддитивная на $[0,1]$ функция продолжается до аддитивной на $\mathbb R$. Это, вроде бы, несложное упражнение.

Можно просто взять сужение функций из $\mathbb{R}$ на $[0,1]$. Но интереснее немного другое. Так как моя функция должна действовать в $[0,1]$, то она ограничена. А для аддитивной функции на $\mathbb{R}$, которая ограничена на некотором интервале, известно, что она линейна. То есть, ответ на мой вопрос: "Нет. Не существует".

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 22:36 
Аватара пользователя
VTV в сообщении #869728 писал(а):
Можно просто взять сужение функций из $\mathbb{R}$ на $[0,1]$.


Тогда придется отвечать, почему любая функция, аддитивная на $[0,1]$ по Вашему определению, будет сужением некоторой аддитивной функции на $\mathbb R$.

 
 
 
 Re: Аддитивная функция
Сообщение30.05.2014, 22:53 
Может, доопределить по аддитивности из $[0,1]$ на $\mathbb{R}$? Например, так:$f(x)=[x]f(1)+f(\{x\})$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group