Но здесь написано, что график такой функции всюду плотен в

, а это значит, что она неограничена на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, а меня интересует вопрос о существовании функции с областью значений в
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Формально говоря, это для функций, заданных на

. Т. е. надо доказать, что аддитивная на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
функция продолжается до аддитивной на

. Это, вроде бы, несложное упражнение.
Можно просто взять сужение функций из

на
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
. Но интереснее немного другое. Так как моя функция должна действовать в
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, то она ограничена. А для аддитивной функции на

, которая ограничена на некотором интервале, известно, что она линейна. То есть, ответ на мой вопрос: "Нет. Не существует".