Циркуляция векторного поля

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: По формуле Стокса найти циркуляцию векторного поля $\vec{A} = z \vec{i} - y\vec{j} - x\vec{k}$ по контуру $x^2+z^2=1-y$, $x=0,y=0,z=0$ (первый октант).

Искомая циркуляция есть

$$\oint\limits_{L} P dx + Q dy + R dz = \oint\limits_{L} z dx -y dy -x dz$$

Ротор поля $\vec{A}$ будет

$$\operatorname{rot} \vec{A} = \{0;2;0\}$$

Тогда

$$\oint\limits_{L} z dx -y dy -x dz = \iint\limits_{S} 2 \cos(\beta) dS$$

Единичная нормаль к поверхности $x^2+z^2=1-y$ есть

$$\vec{n}_{0} = \left \{ \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}; \frac{1}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}; \frac{2z}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}} \right \}$$

Отсюда

$$\cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}$$

$$dS = \frac{dxdz}{|\cos(\beta)|} = \sqrt{4x^2+1+4z^2} dxdz$$

Тогда

$$\iint\limits_{S} 2 \cos(\beta) dS = \iint\limits_{D} 2 dxdz$$

Справа двойной интеграл по области $D$, где $D$ проекция поверхности $S$ на плоскость $xOz$.

Подскажите, пожалуйста, я на верном пути? А то я запутался

[Otta]

Контур-то какой? Вот эта красота

Limit79 в сообщении #869013 писал(а):

$x^2+z^2=1-y$, $x=0,y=0,z=0$

контур не задает.
Мбыть было: граница части поверхности, попавшей в первый октант?

[Limit79]

Otta
Да, первый октант.

(Картинка)

[Otta]

Так лучше.
Ориентация не указана, поэтому знаки трудно проверить.
По модулю так и будет.
Только я бы брала другую поверхность, вышло бы то же и сразу. Поверхность-то в Вашей власти выбирать.

[Limit79]

Otta
Спасибо!

Otta в сообщении #869022 писал(а):

Только я бы брала другую поверхность

А какую? Ведь поверхность задана всего одна

[Otta]

Дык! поверхности вообще, считайте, не задано, задан контур. А теорема Стокса утверждает, что чего-то там по этому контуру равно чему-то еще по лежащей внутри части поверхности. Обратите внимание, что вообще говоря, таких поверхностей много.

Так что какую удобнее - ту и берут. Засим оставлю Вас немножко пофантазировать вокруг темы. )

[Limit79]

Otta
Огромное Вам спасибо!

[ewert]

Limit79 в сообщении #869023 писал(а):

А какую? Ведь поверхность задана всего одна

Даже если бы она и была задана лишь одна -- что Вам, трудно подставить уравнение этой поверхности в $2$ ?...