2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 00:49 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть такая задачка: По формуле Стокса найти циркуляцию векторного поля $\vec{A} = z \vec{i} - y\vec{j} - x\vec{k}$ по контуру $x^2+z^2=1-y$, $x=0,y=0,z=0$ (первый октант).

Искомая циркуляция есть $$\oint\limits_{L} P dx + Q dy + R dz = \oint\limits_{L} z dx -y dy -x dz$$

Ротор поля $\vec{A}$ будет $$\operatorname{rot} \vec{A} = \{0;2;0\}$$

Тогда $$\oint\limits_{L} z dx -y dy -x dz = \iint\limits_{S} 2 \cos(\beta) dS$$

Единичная нормаль к поверхности $x^2+z^2=1-y$ есть $$\vec{n}_{0} = \left \{ \frac{2x}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}; \frac{1}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}; \frac{2z}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}} \right \}$$

Отсюда $$\cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{4x^2+1+4z^2}}$$

$$dS = \frac{dxdz}{|\cos(\beta)|} = \sqrt{4x^2+1+4z^2} dxdz$$

Тогда $$\iint\limits_{S} 2 \cos(\beta) dS = \iint\limits_{D} 2 dxdz$$

Справа двойной интеграл по области $D$, где $D$ проекция поверхности $S$ на плоскость $xOz$.

Подскажите, пожалуйста, я на верном пути? А то я запутался :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Контур-то какой? Вот эта красота
Limit79 в сообщении #869013 писал(а):
$x^2+z^2=1-y$, $x=0,y=0,z=0$
контур не задает.
Мбыть было: граница части поверхности, попавшей в первый октант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:30 


29/08/11
1759
Otta
Да, первый октант.

(Картинка)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Так лучше.
Ориентация не указана, поэтому знаки трудно проверить.
По модулю так и будет.
Только я бы брала другую поверхность, вышло бы то же и сразу. Поверхность-то в Вашей власти выбирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:36 


29/08/11
1759
Otta
Спасибо!
Otta в сообщении #869022 писал(а):
Только я бы брала другую поверхность

А какую? Ведь поверхность задана всего одна :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Дык! поверхности вообще, считайте, не задано, задан контур. А теорема Стокса утверждает, что чего-то там по этому контуру равно чему-то еще по лежащей внутри части поверхности. Обратите внимание, что вообще говоря, таких поверхностей много.

Так что какую удобнее - ту и берут. Засим оставлю Вас немножко пофантазировать вокруг темы. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 01:49 


29/08/11
1759
Otta
Огромное Вам спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Циркуляция векторного поля
Сообщение29.05.2014, 08:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Limit79 в сообщении #869023 писал(а):
А какую? Ведь поверхность задана всего одна :|

Даже если бы она и была задана лишь одна -- что Вам, трудно подставить уравнение этой поверхности в $2$ ?...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group