Доказать свойство функции

[MAnt]

Пусть $f$ $\--$ положительная непрерывная функция на $\mathbb{R}$, причем $\int \limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = 1$. Пусть $\alpha \in (0,1)$, а интервал $[a,b]$ $\--$ это интервал минимальной длины из тех, для которых $\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \alpha$. Покажите, что $f(a) = f(b)$.

Дошел до того, что $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0$, и у $f$ есть области, где она выпукла вверх. Остаётся доказать, что длина интервала будет меньше, если он включает в себя максимум $f$, и что минимум достигается при условии равенства значений на концах. Только вот как?

[svv]

topic81746.html
topic81366.html

[MAnt]

спасибо

[svv]

Пожалуйста.