Неопределенный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как найти интеграл

$$\int \frac{\sqrt[3]{x} dx}{\sqrt[3]{x^8}-\sqrt{x}}$$

Я делаю замену

$$x=t^6 \Rightarrow dx = 6t^5 dt$$

тогда:

$$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} dx}{x^{\frac{8}{3}}-x^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{{t^6}^{\frac{1}{3}} 6t^5 dt}{{t^6}^{\frac{8}{3}}-{t^6}^{\frac{1}{2}}} = 6 \cdot \int \frac{t^7 dt}{t^{16}-t^{3}} = 6 \cdot \int \frac{t^4 dt}{t^{13}-1}$$

А вот что делать дальше - не знаю

[Ms-dos4]

Откуда взяли такой интеграл? Вообще говоря он берётся, но выражение будет очень громоздким

[mihailm]

Дальше списать ответ http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28t%5E4%2F%28t%5E13-1%29%2Ct%29)))

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #868839 писал(а):

Откуда взяли такой интеграл?

Обычная работа по интегралам, в этой же работе все примеры довольно простые, кроме этого.

Ms-dos4 в сообщении #868839 писал(а):

Вообще говоря он берётся, но выражение будет очень громоздким

Это я знаю, вопрос как

[Ms-dos4]

Вообще всё это записывается так
$\[\begin{array}{l} \int {\frac{{{x^m}dx}}{{{x^{2n + 1}} - {a^{2n + 1}}}} = } \frac{1}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\ln \left| {x - a} \right| + \\ + \frac{{{{( - 1)}^{m + 1}}}}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\cos (\frac{{\pi (m + 1)(2k + 1)}}{{2n + 1}})\ln ({x^2} + 2ax\cos (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi ) + {a^2})} + \\ + \frac{{2{{( - 1)}^{m + 1}}}}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\sin (\frac{{\pi (m + 1)(2k + 1)}}{{2n + 1}}){\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{{x + a\cos (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi )}}{{a\sin (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi )}})} \end{array}\]$
P.S.В работе 100% опечатка

[Limit79]

Ms-dos4
Спасибо! А это Вы откуда взяли?

[Ms-dos4]

Я с такими сталкивался не так давно, и под рукой держу справочник

[Limit79]

Ms-dos4
Не могли бы Вы подсказать, в каком справочнике есть эта формула?

-- 28.05.2014, 19:17 --

Нашел в "Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений".

[ИСН]

Абоминация какая-то.