2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 16:39 
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как найти интеграл $$\int \frac{\sqrt[3]{x} dx}{\sqrt[3]{x^8}-\sqrt{x}}$$

Я делаю замену $$x=t^6 \Rightarrow dx = 6t^5 dt$$

тогда: $$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} dx}{x^{\frac{8}{3}}-x^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{{t^6}^{\frac{1}{3}} 6t^5 dt}{{t^6}^{\frac{8}{3}}-{t^6}^{\frac{1}{2}}} = 6 \cdot \int \frac{t^7 dt}{t^{16}-t^{3}} = 6 \cdot \int \frac{t^4 dt}{t^{13}-1}$$

А вот что делать дальше - не знаю :|

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 16:58 
Откуда взяли такой интеграл? Вообще говоря он берётся, но выражение будет очень громоздким

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 17:00 
Дальше списать ответ http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28t%5E4%2F%28t%5E13-1%29%2Ct%29)))

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 17:03 
Ms-dos4 в сообщении #868839 писал(а):
Откуда взяли такой интеграл?

Обычная работа по интегралам, в этой же работе все примеры довольно простые, кроме этого.

Ms-dos4 в сообщении #868839 писал(а):
Вообще говоря он берётся, но выражение будет очень громоздким

Это я знаю, вопрос как :|

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 17:03 
Вообще всё это записывается так
$\[\begin{array}{l}
\int {\frac{{{x^m}dx}}{{{x^{2n + 1}} - {a^{2n + 1}}}} = } \frac{1}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\ln \left| {x - a} \right| + \\
 + \frac{{{{( - 1)}^{m + 1}}}}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\cos (\frac{{\pi (m + 1)(2k + 1)}}{{2n + 1}})\ln ({x^2} + 2ax\cos (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi ) + {a^2})}  + \\
 + \frac{{2{{( - 1)}^{m + 1}}}}{{(2n + 1){a^{2n - m}}}}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\sin (\frac{{\pi (m + 1)(2k + 1)}}{{2n + 1}}){\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{{x + a\cos (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi )}}{{a\sin (\frac{{2k + 1}}{{2n + 1}}\pi )}})} 
\end{array}\]$
P.S.В работе 100% опечатка

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 17:04 
Ms-dos4
Спасибо! А это Вы откуда взяли?

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 17:05 
Я с такими сталкивался не так давно, и под рукой держу справочник

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 18:08 
Ms-dos4
Не могли бы Вы подсказать, в каком справочнике есть эта формула?

-- 28.05.2014, 19:17 --

Нашел в "Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений".

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.05.2014, 18:44 
Аватара пользователя
Абоминация какая-то. :shock:

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group