HMIC 2014

[Nemiroff]

Цитата:

2014 triangles have non-overlapping interiors contained in a circle of radius 1. What is the largest possible value of the sum of their areas?

Казалось бы, если бы треугольники были вершинками на окружности — чего там думать, бери правильный, не ошибёшься. Так вот нет же…

[Sender]

В смысле, правильный 2016-угольник?

[Cash]

Цитата:

This problem turned out to be much trickier than we expected. We have yet to
see a complete solution, but let us know if you find one!

У меня похожий случай был. На краевой олимпиаде для 8-го класса была такая задача:
Найти наибольшее количество квадратов со стороной $1$ которое можно разместить без наложений в круге радиуса $2$
Пример для 8 квадратов легко находится, а вот далее у авторов было такое "доказательство":
9 квадратов разместить нельзя, поскольку у наиболее плотной упаковки в виде квадрата $ 3 \times 3$ диагональ равна $3 \sqrt 2 > 4$
Жюри признавало, что доказательство некорректно, но снять задачу смелости не хватило...

[Sender]

В круге диаметра $4$, должно быть? А как $8$ квадратов упаковали? Мне это не кажется таким уж очевидным. Кстати, наткнулся на эмпирические результаты исследования проблемы упаковки квадратов в круг, там для $9$ квадратов радиус больше $2$.

[Cash]

Sender, спасибо, исправил.
Пример был с прямоугольником $ 1\times 2$ на прямоугольнике $ 2 \times 3$
Центр окружности - внутри большого прямоугольника на расстоянии $h$ от нижней стороны. $h=\sqrt{2^2-1.5^2}$
Надо проверить, что $\sqrt{(3-h)^2+1} < 2$
$(3-h)^2+1 \approx 3.81 \approx 1.95^2$