Функан, оператор умножения на функцию

[bahad]

ewert в сообщении #868177 писал(а):

Точки, где функция равна нулю, определяют ядро. А что из себя представляет ортогональное дополнение к этому ядру -- и как на этом дополнении ведёт себя оператор?...

Так как у нас пространство $L^2(\mu)$ - гильбертово, то оно представляется в виде прямой суммы $KerA_{\varphi}$ и ортогонального дополнения к нему. На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

[Oleg Zubelevich]

Гильбертовость в данном случае не по делу

bahad в сообщении #867637 писал(а):

Задача. Пусть $\mu$ - ограниченная борелевская мера на прямой и $\varphi$ - ограниченная $\mu$-измеримая функция. Когда оператор $A_{\varphi}$ умножения на $\varphi$ в $L^2(\mu)$ имеет замкнутый образ?

Подскажите, с чего тут можно начать, идей нормальных нет, попытался по определению сделать, заступорился на месте, может нужно тут помухлевать с помощью проективных мер или поиграться со множеством точек, на которых функция отлична от нуля и рассмотреть ограничение меры на это множество или на множество существенных значений этой функции (это спектр данного оператора)...

Например, можно действовать так.
Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:

$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$

Терема. Образ оператора $A$ замкнут.
Доказательство основано на теореме по ссылке см. выше.

[ewert]

bahad в сообщении #868196 писал(а):

На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

Чего и достаточно. Надо лишь аккуратно обосновать, почему он там инъективен.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #868198 писал(а):

Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:

$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$

Терема. Образ оператора $A$ замкнут.

А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):

А верна ли обратная теорема?

Обратная теорема -- это ровно теорема Банаха и есть: если образ замкнут, то мы имеем дело с биекцией между дополнением до ядра и образом, а тогда обратный ограничен; или, что то же, значения $\varphi$ отделены от нуля.

В другую сторону -- вообще как-то даже неловко называть теоремой: если обратный ограничен, а прямой задан на замкнутом множестве, то тогда и обратный -- тоже на замкнутом (просто потому, что его можно было бы расширить на замыкание образа по непрерывности, а расширять-то и некуда).

[Oleg Zubelevich]

$L^p$ разложить в прямую сумму

mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):

А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи.

верна, доказывается от противного из той же теоремы по ссылке

[Oleg Zubelevich]

рассмотрите еще случай $\psi\in L^s,\quad A:L^p\to L^{?}$