Задача по теории вероятности

[Bodya1991]

Помогите разобраться с задачей:
есть некий объект, который расположен в начале координатной оси.
Он может двигаться вперед-назад(влево-вправо) с равной вероятностью, при этом его координата изменяеться на $+1$ или же $-1$.
Всего он делает $n$ таких действий.
Нужно посчитать мат ожидание числа посещённых целых координат.

Я пытался сделать перебором, но он не подходит при больших значениях.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения, иначе тема будет перемещена в Карантин.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

Bodya1991
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[Otta]

Bodya1991 в сообщении #867676 писал(а):

Нужно посчитать мат ожидание числа посещённых целых координат.

Что тут считать-то, они все целые.

[Bodya1991]

Otta, вы наверное неправильно поняли условие задачи.

[Otta]

Может быть. Какое матожидание у Вас получилось при $n=2, 3$?

Да, неправильно поняла.

[Cash]

Ну а скажем матожидание крайнего правого значения можно найти?

[statistonline]

Bodya1991 в сообщении #867702 писал(а):

Otta, вы наверное неправильно поняли условие задачи.

Да правильно она все поняла. Объект скачет по целочисленным значениям координат $n$ раз. С чего бы ему оказаться в каких-то других точках?

[Otta]

statistonline
Задача криво сформулирована. Имеется в виду не количество посещенных точек (что слишком тривиально), а количество принятых ими значений.

[Bodya1991]

При
$n=0$ ответ $=1$;
$n=1$ ответ $=2$;
$n=2$ ответ $=2,5$;
$n=3$ ответ $=3$;
$n=4$ ответ $=3,375$.

[--mS--]

Продублирую ответ со своего форума на тот же вопрос:

Цитата:

Число посещенных точек - это максимум минус минимум. Матожидание - удвоенное матожидание максимума. Для распределения максимума $M_n$ простого случайного блуждания есть формула двойственности

$$\mathsf P(M_n < k) = \mathsf P(N(k) > n),$$

где $N(k)$ - момент первого достижения уровня $k$, $N(0)=0$. Кроме того,

$$\mathsf P(N(k)=n) = \frac{k}{n} \cdot \mathsf P(S_n =k).$$

Вероятность же попадания в точку $k$ за $n$ шагов простым случайным блужданием есть $\mathsf P(S_n=k)=C_n^{\frac{n-k}{2}} \frac{1}{2^n}$ (при чётных значениях $n-k$) .
Математическое ожидание максимума

$$\mathsf EM_n = \sum_{k=1}^n \mathsf P(M_n \geqslant k) = \sum_{k=1}^n \mathsf P(N(k) \leqslant n).$$

Если подставить распределение $N(k)$, получится двойная сумма. Наверняка есть какие-то точные выражения, но я не в курсе.

[--mS--]

Чуть-чуть поправлю: матожидание числа посещённых точек - это удвоенное матожидание максимума плюс единица (состояние 0 тоже надо считать).

$$ \mathsf EX=1+2\mathsf EM_n =1+2 \sum_{k=1}^n \sum_{i=k}^{n} \frac{k}{i}\, C_i^{\frac{i-k}{2}}\,\frac{1}{2^i}, $$

где во внутренней сумме $i$ меняется так, чтобы $i-k$ было чётным, т.е. по значениям $k,\,\, k+2,\,\,k+4,\, \ldots,\,k+2\cdot\left[\frac{n-k}{2}\right]$.
При $n=4$ получается в точности $27/8=3{,}375$.

[svv]

Если с матожиданием проделать такие вещи:
$\bullet$ отнять единичку, чтобы было не количество посещенных точек, а «размах» — максимум минус минимум;
$\bullet$ умножить на $2^n$, чтобы было не матожидание, а сумма размахов по всем путям;
$\bullet$ разделить на $2$, чтобы из пары путей, симметричных относительно нуля, считался только один,
— то получится последовательность OEIS A189391 (там она по другому поводу).