Тензоры

[l1pton17]

Помогите решите задачи, мне бы хоть какой-то алгоритм решения.
1) Найти координаты 1, 2, 3, 3, 3 произведений $A\bigotimes B$ и $B\bigotimes A$ тензоров:
$A=e^1\bigotimes e^2 + e^3\bigotimes e^3 \in T_2^0(v)$, $B=B(v_1,v_2,v_3) \in T_3^0(v)$,
где $B(v_1,v_2,v_3)$ - определитель, составленный из координат $v_1, v_2, v_3$ в базисе $(e_1, e_2, e_3)$.
Что делал:
Заметил, что $A=e^1\bigotimes e^2 + e^3\bigotimes e^3= I$, B - непонятно, что такое.
Вообще, никак не могу понять, что значит "найти коо-ты 1,2,3,3,3", в интернете литературы очень мало, и всё как-то непонятно для программиста.

2) Найти координаты тензоров:
а) $(e_1+e_2)\bigotimes(e_1-e_2)$
Что делал:
Используя свойства, свел к $e_1\bigotimes e_1 - (e_1\bigotimes e_2)+(e_2\bigotimes e_1)-(e_2\bigotimes e_2) = I - 0 + 0 -I = 0$.
Если я правильно понимаю тензорное произведение, то для ортонормированной системы $e_i$ $e_i\bigotimes e_j = I$, если $i == j$.
б) $(e_1+e_2)\bigotimes(e_1+e_2)$
в) $(e_1+2e_2)\bigotimes(e_1+e_2)-(e_1+e_2)\bigotimes(e_1+2e_3)$
г) $(e_1+2e_2)\bigotimes(e_3+e_4)-(e_1-2e_2)\bigotimes(e_3-e_4)$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения задач и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул.
Менее страшное тензорное произведение пишется \otimes $\otimes$

[svv]

l1pton17 в сообщении #867340 писал(а):

Если я правильно понимаю тензорное произведение, то для ортонормированной системы $e_i$ $e_i\bigotimes e_j = I$, если $i == j$.

К сожалению, это совсем неверно. (Вы спутали его со скалярным произведением $e_i$ и $e_j$, что в случае ортонормированного базиса действительно даёт $\delta_{ij}$.) Например, тензорное произведение $e_3$ и $e_2$ — это $e_3\otimes e_2$ и ни к чему более простому уже не сводимо. Результат здесь — не скаляр, а тензор. Порядок важен: $e_3\otimes e_2\neq e_2\otimes e_3$. Тензорное произведение — это первичный способ построить тензор более высокого ранга из строительного материала более низкого ранга, в данном случае тензор второго ранга из двух векторов.

[l1pton17]

Кажется разобрался в номере 2:
Раскрываем тензорное умножение, а затем берем числа перед членами $(e_i, e_j)$ как координаты.
То есть:
а) $(e_1+e_2)\otimes(e_1-e_2)=e_1\otimes e_1-e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1-e_2\otimes e_2$, значит, пишем коэффициенты $(e_i, e_j)$ в таком порядке: для каждого $i$ перебираем все $j$: то есть $(1, -1, 1, -1)$.
б) Получил: $(e_1+e_2)\otimes(e_1+e_2)=e_1\otimes e_1+e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1+e_2\otimes e_2 \Rightarrow (1,1,1,1)$
в) Получил:
$(e_1+2e_2)\otimes (e_1+e_2)-(e_1+e_2)\otimes(e_1+2e_3)=\\ =e_1\otimes e_1 + e_1\otimes e_2 + 2e_2\otimes e_1 + 2e_2\otimes e_2 - e_1\otimes e_1 - 2e_1\otimes e_3 - e_2\otimes e_1 - 2 e_2\otimes e_3=\\ =e_1\otimes e_2 - 2e_1\otimes e_3 + e_2\otimes e_1 + 2e_2\otimes e_2 - 2e_2\otimes e_3 \Rightarrow (\mathbf{0,1,-2},1,2,-2,\mathbf{0,0,0})$
г) Получил:
$(e_1+2e_2)\otimes(e_3+e_4)-(e_1-2e_2)\otimes(e_3-e_4)=\\ =e_1\otimes e_3+e_1\otimes e_4+2e_2\otimes e_3+2e_2\otimes e_4-e_1\otimes e_3+e_1\otimes e_4+2e_2\otimes e_3-2e_2\otimes e_4=\\ =2e_1\otimes e_4 + 4e_2\otimes e_3 \Rightarrow (\mathbf{0,0,0,2},0,0,4,0,\mathbf{0,0,0,0},0,0,0,0)$

Правильно ли я решаю?

[svv]

l1pton17 в сообщении #867948 писал(а):

а затем берем числа перед членами $(e_i, e_j)$ как координаты.

Здесь я написал бы «числа перед членами $e_i\otimes e_j$». Эти числа и есть координаты тензора в базисе $(e_i\otimes e_j)$, по определению.

Так как векторных множителей здесь всего два, можно условиться записывать коэффициенты $c^{ij}$ в виде матрицы для наглядности ($i$, как обычно, — это номер строки, $j$ — номер столбца). У меня получилось:
а) $\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}$
б) $\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$
в) $\begin{bmatrix}1&1&0\\2&2&0\\0&0&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0&2\\1&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&-2\\1&2&-2\\0&0&0\end{bmatrix}$
И вот этот тензор (как и подавляющее большинство тензоров) уже невозможно представить в виде тензорного произведения двух векторов, а только в виде суммы таких произведений. Это то, что автор задачи хочет, чтобы решающие поняли.
г) $\begin{bmatrix}0&0&1&1\\0&0&2&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&0&1&-1\\0&0&-2&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&2\\0&0&4&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$
Всё совпадает с Вашими решениями, которые получаются, если элементы этих матриц выписать построчно.

(Кстати)

Матричная запись координат оправдывается не только удобством. Сам тензор можно получить из такой формальной записи:
$\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}c^{11}&c^{12}&c^{13}\\c^{21}&c^{22}&c^{23}\\c^{31}&c^{32}&c^{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1\\e_2\\e_3\end{bmatrix}$
Знак тензорного произведения можно было бы поставить справа от матрицы. Раскрывая это по правилам матричного умножения, получим нужную сумму из девяти (в этом примере) слагаемых $c^{ij}e_i\otimes e_j$. Я пишу в ответах только центральную матрицу, потому что в задании надо найти координаты.

Теперь можно приступить и к более сложному заданию 1. Там получается тензор аж пятого ранга, вида $c_{ijk\ell m}e^i\otimes e^j\otimes e^k\otimes e^\ell\otimes e^m$ (пять знаков суммирования подразумеваются). Вот Вам и надо найти $c_{12333}$, то есть коэффициент при $e^1\otimes e^2\otimes e^3\otimes e^3\otimes e^3$.
Не все мои обозначения (различение верхних и нижних индексов, матричная запись коэффициентов, соглашение Эйнштейна) могут понравиться Вашему преподавателю, так что Вы осторожнее.