Imperator писал(а):
Решить в натуральных числах уравнение

.
Сначала заметим, что если

- решение, то

- тоже решение. Поэтому можно считать, что

.
Неотрицательных решений, в котороых

или

, очевидно, нет (не знаю, относите ли Вы

к натуральным числам; я встречал оба варианта). Поэтому

и

.
Далее заметим, что числа

и

должны быть взаимно простыми: если они оба делятся на некоторое число

, то правая часть уравнения делится на

, а левая вообще на

не делится.
Отсюда уже следует, что числа

и

являются точными квадратами:

,

, где

и

- натуральные числа. Подставляя эти выражения в уравнение и извлекая квадратный корень, получим уравнение
Построим бесконечную последовательность натуральных решений

, в которых

.
У этого уравнения есть очевидное решение

.
Предположим, что мы нашли некоторое решение

,

. Тогда

является корнем квадратного уравнения

. По теореме Виета второй корень этого уравнения равен

. Положим
Эти рекуррентные уравнения нетрудно решить. Получается
Первые

решений:

:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

;

:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.
Если бы нужно было найти не только натуральные решения, но и все целочисленные, то нужно было бы рассмотреть ещё случай

,

, где

и

, причём, равенство

невозможно. Это даёт уравнение
Как и в предыдущем случае, достаточно ограничиться решениями, удовлетворяющими условию

. Такие же рассуждения, как и выше, дают рекуррентные уравнения

и начальное решение

, откуда получаются формулы
Первые

решений:

:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

;

:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.
Но я не знаю, исчерпываются ли этим все решения.