Решить уравнение в натуральных числах

[Imperator]

Решить в натуральных числах уравнение $(x+y+1)^{2}=9xy$.

[незваный гость]

1) перейдите к переменным $(x+y)/2$, $(x-y)/2$

2) воспользуйтесь необходимостью того, что левая часть должна лелится на 3, и, соответсвенно, переобозначтье переменные.

3) Ещё немного упрощений, и Вы получите уравнение Пелля $u^2-5v^2 = 1$. Его наименьшее нетривиальное решение — $u = 9, v = 4$. Остальные — понятно как находить…

4) дальше начинаете крутить в обратном направлении…

Первые несколько решений $\{(1,1), (169,25), (54289, 7921), (17480761,2550409),…\}$

[Someone]

Imperator писал(а):

Решить в натуральных числах уравнение $(x+y+1)^{2}=9xy$.

Сначала заметим, что если $(x,y)=(x_0,y_0)$ - решение, то $(x,y)=(y_0,x_0)$ - тоже решение. Поэтому можно считать, что $|x|\geqslant|y|$.
Неотрицательных решений, в котороых $x=0$ или $y=0$, очевидно, нет (не знаю, относите ли Вы $0$ к натуральным числам; я встречал оба варианта). Поэтому $x>0$ и $y>0$.
Далее заметим, что числа $x$ и $y$ должны быть взаимно простыми: если они оба делятся на некоторое число $d>1$, то правая часть уравнения делится на $d^2$, а левая вообще на $d$ не делится.
Отсюда уже следует, что числа $x$ и $y$ являются точными квадратами: $x=u^2$, $y=v^2$, где $u$ и $v$ - натуральные числа. Подставляя эти выражения в уравнение и извлекая квадратный корень, получим уравнение

$$u^2+v^2+1=3uv\text{.}\eqno{(1)}$$

Построим бесконечную последовательность натуральных решений $u_k,v_k$, в которых $0<v_k\leqslant u_k$.
У этого уравнения есть очевидное решение $(u,v)=(u_1,v_1)=(1,1)$.
Предположим, что мы нашли некоторое решение $(u_k,v_k)$, $0<v_k\leqslant u_k$. Тогда $ v_k$ является корнем квадратного уравнения $v^2-3u_kv+(u_k^2+1)=0$. По теореме Виета второй корень этого уравнения равен $3u_k-v_k(>u_k)$. Положим

$$\begin{cases}u_{k+1}=3u_k-v_k\text{,}\\ v_{k+1}=u_k\text{.}\end{cases}\eqno{(2)}$$

Эти рекуррентные уравнения нетрудно решить. Получается

$$\begin{cases}u_k=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{3+\sqrt{5}}2\right)^k+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left(\frac{3-\sqrt{5}}2\right)^k\text{,}\\ v_k=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{3+\sqrt{5}}2\right)^{k-1}+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left(\frac{3-\sqrt{5}}2\right)^{k-1}\text{.}\end{cases}\eqno{(3)}$$

Первые $10$ решений:
$(u_k,v_k)$: $(1,1)$, $(2,1)$, $(5,2)$, $(13,5)$, $(34,13)$, $(89,34)$, $(233,89)$, $(610,233)$, $(1597,610)$, $(4181,1597)$;
$(x_k,y_k)$: $(1,1)$, $(4,1)$, $(25,4)$, $(169,25)$, $(1156,169)$, $(7921,1156)$, $(54289,7921)$, $(372100,54289)$, $(2550409,372100)$, $(17480761,2550409)$.

Если бы нужно было найти не только натуральные решения, но и все целочисленные, то нужно было бы рассмотреть ещё случай $x=-u^2$, $y=-v^2$, где $u\geqslant 0$ и $v\geqslant 0$, причём, равенство $u=v=0$ невозможно. Это даёт уравнение

$$u^2+v^2-1=3uv\text{.}\eqno{(4)$$

Как и в предыдущем случае, достаточно ограничиться решениями, удовлетворяющими условию $0\leqslant v\leqslant u$. Такие же рассуждения, как и выше, дают рекуррентные уравнения $(2)$ и начальное решение $(u,v)=(u_1,v_1)=(1,0)$, откуда получаются формулы

$$\begin{cases}u_k=\frac{\sqrt{5}}5\left(\left(\frac{3+\sqrt{5}}2\right)^k-\left(\frac{3-\sqrt{5}}2\right)^k\right)\text{,}\\ v_k=\frac{\sqrt{5}}5\left(\left(\frac{3+\sqrt{5}}2\right)^{k-1}-\left(\frac{3-\sqrt{5}}2\right)^{k-1}\right)\text{.}\end{cases}\eqno{(5)}$$

Первые $10$ решений:
$(u_k,v_k)$: $(1,0)$, $(3,1)$, $(8,3)$, $(21,8)$, $(55,21)$, $(144,55)$, $(377,144)$, $(987,377)$, $(2584,987)$, $(6765,2584)$;
$(x_k,y_k)$: $(-1,0)$, $(-9,-1)$, $(-64,-9)$, $(-441,-64)$, $(-3025,-441)$, $(-20736,-3025)$, $(-142129,-20736)$, $(-974169,-142129)$, $(-6677056,-974169)$, $(-45765225,-6677056)$.

Но я не знаю, исчерпываются ли этим все решения.