Описать все кольца порядка 5

[default name]

Здравствуйте, есть задание: описать все кольца порядка 5.
Начал вот так:
Пусть наше кольцо $R=\{0,1,a,b,c\}$
Рассмотрим группу данного кольца по сложению, $R^+$.
Группа имеет порядок простого числа $\Rightarrow$ циклическая.
Циклическая, конечная, абелева $\Rightarrow$ разлагается в прямую сумму своих подгрупп (которые тоже циклические), каждая из которых имеет порядок степень простого числа.
Дальше рассуждать не получается, помогите советом.

[Someone]

default name в сообщении #867350 писал(а):

помогите советом

А подгруппы каких порядков имеет группа порядка $5$?

[ИСН]

У Вас получился порочный круг. Группа циклическая, конечная, абелева, она разлагается на такие-то подгруппы, каждая из которых тоже циклическая, конечная, абелева, и тоже (?) по тем же причинам разлагается... да будет ли этому конец?

[Someone]

Кстати, а кольца обязательно с единицей?

[default name]

Someone в сообщении #867376 писал(а):

default name в сообщении #867350 писал(а):

помогите советом

А подгруппы каких порядков имеет группа порядка $5$?

1 и 5.
То есть $R^+$ не может быть разложена в прямую сумму никаких групп, кроме как одной порядка 5 и нескольких (или одной) порядка 1. Что это, вырожденный случай? Какую информацию можно из этого извлечь?

-- 24.05.2014, 23:12 --

Someone в сообщении #867388 писал(а):

Кстати, а кольца обязательно с единицей?

Нет. Недоглядел.

[Someone]

default name в сообщении #867395 писал(а):

Какую информацию можно из этого извлечь?

Сказанное однозначно определяет группу (в смысле, с точностью до изоморфизма).

Выбирайтесь уж из круга, о котором писал ИСН. До бесконечности, что ли, по нему ходить собираетесь?

[default name]

Someone в сообщении #867403 писал(а):

default name в сообщении #867395 писал(а):

Какую информацию можно из этого извлечь?

Сказанное однозначно определяет группу (в смысле, с точностью до изоморфизма).

Выбирайтесь уж из круга, о котором писал ИСН. До бесконечности, что ли, по нему ходить собираетесь?

Понятно, что подгруппа порядка один состоит из нуля кольца. Поэтому смысла в дальнейшем разложении нет.

Аддитивная группа кольца изоморфна циклической группе порядка 5? Это и есть ответ?

-- 24.05.2014, 23:50 --

Если по аналогии рассмотреть мультипликативную группа кольца $R^*=\{a,b,c,d\}$, то она может быть разложена в прямую сумму двух своих циклических подгрупп порядка 2. Верно?

[arseniiv]

Или не может, если таких подгрупп порядка 2 там не две.

[Someone]

default name в сообщении #867405 писал(а):

рассмотреть мультипликативную группа кольца $R^*=\{a,b,c,d\}$

А с какой стати там вообще группа?

Кстати, кольцо совершенно произвольное, или ассоциативное, или ещё какое?

[default name]

Someone
произвольное.
Да, я опять поспешил, это не группа в общем случае.

[default name]

Подскажите, как можно продолжить описание?

[Someone]

Ну, во-первых, из аксиом кольца следует, что $a\cdot 0=0\cdot a=0$ для любого элемента кольца. Так что часть таблицы умножения мы знаем.
Во-вторых, если $a\neq 0$ — какой-нибудь ненулевой элемент кольца, то остальные элементы можно записать в виде $a+a$, $a+a+a$, $a+a+a+a$, $a+a+a+a+a=0$. Для краткости их можно обозначать $2a$, $3a$, $4a$ и $0$ соответственно.
Предположим, что $a\cdot a=b$, где $b$ может быть любым из пяти элементов кольца, включая $0$. Если $b\neq 0$, то $b=ka$ для некоторого $k\in\{1,2,3,4\}$.
Далее используем законы дистрибутивности для вычисления всей таблицы умножения.
Всего получаем $5$ различных таблиц умножения.

[kp9r4d]

Someone в сообщении #867790 писал(а):

то остальные элементы можно записать в виде $a+a$

А почему $a+a \neq 0$?

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #867892 писал(а):

А почему $a+a \neq 0$?

Какой порядок может быть у элемента группы порядка 5?

[kp9r4d]

Xaositect
А, ну да, только 1 или 5 по теореме Лагранжа. А если порядок $1$ то это ноль. Протупил.