2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 20:37 


07/03/14
11
Здравствуйте, есть задание: описать все кольца порядка 5.
Начал вот так:
Пусть наше кольцо $R=\{0,1,a,b,c\}$
Рассмотрим группу данного кольца по сложению, $R^+$.
Группа имеет порядок простого числа $\Rightarrow$ циклическая.
Циклическая, конечная, абелева $\Rightarrow$ разлагается в прямую сумму своих подгрупп (которые тоже циклические), каждая из которых имеет порядок степень простого числа.
Дальше рассуждать не получается, помогите советом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
default name в сообщении #867350 писал(а):
помогите советом
А подгруппы каких порядков имеет группа порядка $5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У Вас получился порочный круг. Группа циклическая, конечная, абелева, она разлагается на такие-то подгруппы, каждая из которых тоже циклическая, конечная, абелева, и тоже (?) по тем же причинам разлагается... да будет ли этому конец?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Кстати, а кольца обязательно с единицей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 22:08 


07/03/14
11
Someone в сообщении #867376 писал(а):
default name в сообщении #867350 писал(а):
помогите советом
А подгруппы каких порядков имеет группа порядка $5$?

1 и 5.
То есть $R^+$ не может быть разложена в прямую сумму никаких групп, кроме как одной порядка 5 и нескольких (или одной) порядка 1. Что это, вырожденный случай? Какую информацию можно из этого извлечь?

-- 24.05.2014, 23:12 --

Someone в сообщении #867388 писал(а):
Кстати, а кольца обязательно с единицей?

Нет. Недоглядел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
default name в сообщении #867395 писал(а):
Какую информацию можно из этого извлечь?
Сказанное однозначно определяет группу (в смысле, с точностью до изоморфизма).

Выбирайтесь уж из круга, о котором писал ИСН. До бесконечности, что ли, по нему ходить собираетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение24.05.2014, 22:35 


07/03/14
11
Someone в сообщении #867403 писал(а):
default name в сообщении #867395 писал(а):
Какую информацию можно из этого извлечь?
Сказанное однозначно определяет группу (в смысле, с точностью до изоморфизма).

Выбирайтесь уж из круга, о котором писал ИСН. До бесконечности, что ли, по нему ходить собираетесь?

Понятно, что подгруппа порядка один состоит из нуля кольца. Поэтому смысла в дальнейшем разложении нет.

Аддитивная группа кольца изоморфна циклической группе порядка 5? Это и есть ответ?

-- 24.05.2014, 23:50 --

Если по аналогии рассмотреть мультипликативную группа кольца $R^*=\{a,b,c,d\}$, то она может быть разложена в прямую сумму двух своих циклических подгрупп порядка 2. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение25.05.2014, 00:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Или не может, если таких подгрупп порядка 2 там не две.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение25.05.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
default name в сообщении #867405 писал(а):
рассмотреть мультипликативную группа кольца $R^*=\{a,b,c,d\}$
А с какой стати там вообще группа?

Кстати, кольцо совершенно произвольное, или ассоциативное, или ещё какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение25.05.2014, 01:34 


07/03/14
11
Someone
произвольное.
Да, я опять поспешил, это не группа в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение25.05.2014, 21:47 


07/03/14
11
Подскажите, как можно продолжить описание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение25.05.2014, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, во-первых, из аксиом кольца следует, что $a\cdot 0=0\cdot a=0$ для любого элемента кольца. Так что часть таблицы умножения мы знаем.
Во-вторых, если $a\neq 0$ — какой-нибудь ненулевой элемент кольца, то остальные элементы можно записать в виде $a+a$, $a+a+a$, $a+a+a+a$, $a+a+a+a+a=0$. Для краткости их можно обозначать $2a$, $3a$, $4a$ и $0$ соответственно.
Предположим, что $a\cdot a=b$, где $b$ может быть любым из пяти элементов кольца, включая $0$. Если $b\neq 0$, то $b=ka$ для некоторого $k\in\{1,2,3,4\}$.
Далее используем законы дистрибутивности для вычисления всей таблицы умножения.
Всего получаем $5$ различных таблиц умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение26.05.2014, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Someone в сообщении #867790 писал(а):
то остальные элементы можно записать в виде $a+a$

А почему $a+a \neq 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение26.05.2014, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
kp9r4d в сообщении #867892 писал(а):
А почему $a+a \neq 0$?
Какой порядок может быть у элемента группы порядка 5?

 Профиль  
                  
 
 Re: Описать все кольца порядка 5
Сообщение26.05.2014, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect
А, ну да, только 1 или 5 по теореме Лагранжа. А если порядок $1$ то это ноль. Протупил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group