Группа автоморфизмов

[green_orange]

Пусть $G$ - группа, $G\simeq \operatorname{Aut}G$. Следует ли из этого, что центр $G$ тривиален и все автоморфизмы внутренние?
Пусть $f:G\to\operatorname{Aut}G$ - изоморфизм, $a\in Z_{G}$. $\varphi=f(a)\in Z_{\operatorname{Aut}G}$.
$f(a)$ коммутирует со всеми автоморфизмами, например, со внутренними: $b\varphi(x)b^{-1}=\varphi(bxb^{-1})=\varphi(b)\varphi(x)\varphi(b)^{-1}$. Сопряжения элементами $b$ и $\varphi(b)$ совпадают, $b^{-1}\varphi(b)\in Z_{G}$.
Это можно доказать, зная лишь определения? Каких-либо нужных теорем могу не знать, т.к. занимаюсь самостоятельно.

[Sonic86]

Ну а сами-то как думаете?
Что такое центр? Что такое внутренний автоморфизм?

[green_orange]

Внутренние автоморфизмы образуют группу $\operatorname{Int}G\simeq G/Z_{G}$. Это про связь с центром. Почему других автоморфизмов нет, не понимаю.

[Sonic86]

Ну знаете Вы связь, а что такое центр и внутренний автоморфизм все-таки?
Что вам даст связь, если Вы понятий не знаете?

[green_orange]

Центр - множество таких элементов $a$, что для всех $a\in G: ax=xa$.
Внутренний автоморфизм - $f(x)=axa^{-1}$. И?

[lena7]

Если элемент в центре, то какой будет соответствующий внутр. атоморфизм?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

green_orange, приведите попытки решения, заключающие в себе нечто отличное от того, что уже приведено в теме, укажите конкретные затруднения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[patzer2097]

green_orange в сообщении #866783 писал(а):

Пусть $G$ - группа, $G\simeq \operatorname{Aut}G$. Следует ли из этого, что центр $G$ тривиален и все автоморфизмы внутренние?

Не следует.

green_orange в сообщении #866783 писал(а):

Это можно доказать, зная лишь определения?

Вряд ли, это довольно сложный вопрос. В качестве контрпримера подходит $D_4$, и тут написано, что других пока неизвестно. Можете поискать другие ссылки в интернете, но в качестве учебной задачи это, видимо, не лучший выбор.