2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 07:10 


18/12/13
30
Новосибирск
Пусть $G$ - группа, $G\simeq \operatorname{Aut}G$. Следует ли из этого, что центр $G$ тривиален и все автоморфизмы внутренние?
Пусть $f:G\to\operatorname{Aut}G$ - изоморфизм, $a\in Z_{G}$. $\varphi=f(a)\in Z_{\operatorname{Aut}G}$.
$f(a)$ коммутирует со всеми автоморфизмами, например, со внутренними: $b\varphi(x)b^{-1}=\varphi(bxb^{-1})=\varphi(b)\varphi(x)\varphi(b)^{-1}$. Сопряжения элементами $b$ и $\varphi(b)$ совпадают, $b^{-1}\varphi(b)\in Z_{G}$.
Это можно доказать, зная лишь определения? Каких-либо нужных теорем могу не знать, т.к. занимаюсь самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 08:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ну а сами-то как думаете?
Что такое центр? Что такое внутренний автоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 09:01 


18/12/13
30
Новосибирск
Внутренние автоморфизмы образуют группу $\operatorname{Int}G\simeq G/Z_{G}$. Это про связь с центром. Почему других автоморфизмов нет, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 09:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ну знаете Вы связь, а что такое центр и внутренний автоморфизм все-таки?
Что вам даст связь, если Вы понятий не знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 09:14 


18/12/13
30
Новосибирск
Центр - множество таких элементов $a$, что для всех $a\in G: ax=xa$.
Внутренний автоморфизм - $f(x)=axa^{-1}$. И?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение23.05.2014, 10:58 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Если элемент в центре, то какой будет соответствующий внутр. атоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.05.2014, 07:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

green_orange, приведите попытки решения, заключающие в себе нечто отличное от того, что уже приведено в теме, укажите конкретные затруднения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов
Сообщение24.05.2014, 14:33 
Заслуженный участник


14/03/10
867
green_orange в сообщении #866783 писал(а):
Пусть $G$ - группа, $G\simeq \operatorname{Aut}G$. Следует ли из этого, что центр $G$ тривиален и все автоморфизмы внутренние?
Не следует.

green_orange в сообщении #866783 писал(а):
Это можно доказать, зная лишь определения?
Вряд ли, это довольно сложный вопрос. В качестве контрпримера подходит $D_4$, и тут написано, что других пока неизвестно. Можете поискать другие ссылки в интернете, но в качестве учебной задачи это, видимо, не лучший выбор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group