![$$(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2 =$$$$= a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2 + 2(a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z),$$ $$(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2 =$$$$= a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2 + 2(a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/b/22b0708a7616e6b35b09cfe573cf8f4182.png)
так что
![$a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{\ldots}2$ $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{\ldots}2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/d/80db826a794d28f7e3295e49bd5c5e2182.png)
, только числитель другой.
ой...)) я даже не писал так) я сразу раскрывал, не записывая первичного выражения..)
![$a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2- (a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2)}2$ $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2- (a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2)}2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/4/ac41f0f806b87c0d2d7b6e3703aa387282.png)
и так как все, что справа- инвариант, то из равенства частей следует, что и левая часть выражения- инвариантна. уряя
Кстати, перед вами знаменитая теорема косинусов.
каким боком?
![:shock: :shock:](./images/smilies/icon_eek.gif)
а вектор угловой скорости аксиальный?
А если у нас есть два вектора: полярный и аксиальный
![$\vec {a}$ $\vec {a}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/5/295820baeb709f4822072ee21048fd6e82.png)
и
![$\vec{b}$ $\vec{b}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/d/72dfde2d31e141084b736c9a435ad64d82.png)
соответственно, то их скалярное произведение будет псевдоскаляром. Сейчас я попытаюсь это доказать, проверьте пожалуйста, правильно ли я сейчас это докажу.
Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:
![$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$ $$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436e3d6c4dadcde28a9ed8d9a53da29982.png)
Теперь запишем скалярное произведение этих же векторов, но в левой системе координат, так, как
![$\vec{a}$ $\vec{a}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/0/7e0ed847ee1038211ab4f346a0aea6b082.png)
у нас по условию полярный, то его компоненты, а тогда и сам конечный вектор
![$\vec {c}$ $\vec {c}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/6/6e6d9a865ec6bbfe8d7613f353c69c5082.png)
должен сменить знак:
![$$(\vec{a} \vec{b})=-a_x b_x- a_y b_y- a_z b_z=-(a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z)=-\vec{c}$$ $$(\vec{a} \vec{b})=-a_x b_x- a_y b_y- a_z b_z=-(a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z)=-\vec{c}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/e/06ee3886d8d0ef1b7dd754627c315e1f82.png)
И раз уж вектор
![$\vec {c}$ $\vec {c}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/6/6e6d9a865ec6bbfe8d7613f353c69c5082.png)
поменял свой знак, то он по определению будет полярным, а само скалярное произведение векторов
![$\vec{a}$ $\vec{a}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/0/7e0ed847ee1038211ab4f346a0aea6b082.png)
и
![$\vec {b}$ $\vec {b}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/4/194dd13f916c00cc2980211a454920f682.png)
- псевдоскаляр. Наверное стоило создать отдельную тему для этого.