Задача из книги Сивухина

[fronnya]

Прям вот самая первая. Понимаю, что эта задаче больше относится к математике, но она же написана в книге Сивухина, и физики наверное мне лучше помогут тут.
Доказать, что если $\vec {a}$ и $\vec{b}$ - два полярных или два аксиальных вектора, то в прямоугольных системах координат $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z $ есть инвариант. И далее говорится, что это в конце концов называется скалярным произведением. Дальше написано указание, что нужно воспользоваться инвариантами $a_x^2+a_y^2+a_z^2, b_x^2+b_y^2+b_z^2, (a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2$
Я вот даже не знаю, как подойти, условие вроде понятное, но не знаю..

[arseniiv]

Раскройте скобки во втором.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867094 писал(а):

Раскройте скобки во втором.

раскрыл, что дальше?
$a_x^2+a_y^2+a_z^2+ b_x^2+b_y^2+b_z^2+ 2(a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z)$

[arseniiv]

А теперь вы видите там выражение под вопросом. Выразите его через всё это, и…

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867103 писал(а):

А теперь вы видите там выражение под вопросом. Выразите его через всё это, и…

вы имеете ввиду $a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z$ это? и как его выразить? через что?

-- 23.05.2014, 19:57 --

fronnya в сообщении #867107 писал(а):

arseniiv в сообщении #867103 писал(а):

А теперь вы видите там выражение под вопросом. Выразите его через всё это, и…

вы имеете ввиду $a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z$ это? и как его выразить? через что?

оно будет равно $\frac{a_x^2+a_y^2+a_z^2+ b_x^2+b_y^2+b_z^2}{2}$? тогда это точно инвариант.

[arseniiv]

Ну, вы же раскрыли скобки в $x$ и получили $y$, т. е. есть равенство $x = y$. Надо только его преобразовать.

-- Пт май 23, 2014 23:58:28 --

fronnya в сообщении #867107 писал(а):

оно будет равно $\frac{a_x^2+a_y^2+a_z^2+ b_x^2+b_y^2+b_z^2}{2}$?

Не совсем. Но инвариантом будет по такой же причине, по какой было бы здесь, если бы было правильно.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867108 писал(а):

Ну, вы же раскрыли скобки в $x$ и получили $y$, т. е. есть равенство $x = y$. Надо только его преобразовать.

распишите это, пожалуйста, а то до меня не доходит..

[arseniiv]

$$(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2 =$$$$= a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2 + 2(a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z),$$

так что $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{\ldots}2$, только числитель другой.

-- Сб май 24, 2014 00:12:39 --

Таким же образом можно почти любой квадратичной форме $Q$ сопоставить одну симметричную билинейную $B$: $B(\vec a,\vec b) = \frac12(Q(\vec a+\vec b) - Q(\vec a) - Q(\vec b))$ такую, что $Q(\vec a) = B(\vec a,\vec a)$. (Только в векторных пространствах над полем характеристики 2 не получится, так что над вещественными и комплексными — порядок.) Квадрат нормы (длины вектора) — квадратичная форма, и скалярное произведение — соответствующая ей билинейная.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867115 писал(а):

$$(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2 =$$$$= a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2 + 2(a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z),$$

так что $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{\ldots}2$, только числитель другой.

ой...)) я даже не писал так) я сразу раскрывал, не записывая первичного выражения..)

[arseniiv]

Кстати, перед вами знаменитая теорема косинусов.

[fronnya]

fronnya в сообщении #867118 писал(а):

arseniiv в сообщении #867115 писал(а):

$$(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2 =$$$$= a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2 + 2(a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z),$$

так что $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{\ldots}2$, только числитель другой.

ой...)) я даже не писал так) я сразу раскрывал, не записывая первичного выражения..)

$a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = \frac{(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2+(a_z+b_z)^2- (a_x^2+a_y^2+a_z^2 + b_x^2+b_y^2+b_z^2)}2$ и так как все, что справа- инвариант, то из равенства частей следует, что и левая часть выражения- инвариантна. уряя

arseniiv в сообщении #867119 писал(а):

Кстати, перед вами знаменитая теорема косинусов.

каким боком?
а вектор угловой скорости аксиальный?

А если у нас есть два вектора: полярный и аксиальный $\vec {a}$ и $\vec{b}$ соответственно, то их скалярное произведение будет псевдоскаляром. Сейчас я попытаюсь это доказать, проверьте пожалуйста, правильно ли я сейчас это докажу.

Запишем скалярное произведение этих двух векторов в, например, правой системе координат:

$$(\vec{a} \vec{b})=a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z=\vec {c}$$

Теперь запишем скалярное произведение этих же векторов, но в левой системе координат, так, как $\vec{a}$ у нас по условию полярный, то его компоненты, а тогда и сам конечный вектор $\vec {c}$ должен сменить знак:

$$(\vec{a} \vec{b})=-a_x b_x- a_y b_y- a_z b_z=-(a_x b_x+ a_y b_y+ a_z b_z)=-\vec{c}$$

И раз уж вектор $\vec {c}$ поменял свой знак, то он по определению будет полярным, а само скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec {b}$- псевдоскаляр. Наверное стоило создать отдельную тему для этого.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867119 писал(а):

Кстати, перед вами знаменитая теорема косинусов.

точно... только это не сразу видно, в книге Гусятникова нашел доказательство. Получается так :

$$(\vec{a}-\vec{b})^2=(\vec{a})^2+(\vec{b})^2- 2(\vec{a} \vec{b})$$

[мат-ламер]

fronnya в сообщении #867090 писал(а):

Доказать, что если $\vec {a}$ и $\vec{b}$ - два полярных или два аксиальных вектора, то в прямоугольных системах координат $a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z $ есть инвариант.

Это вообще так? Или тут имеются в виду не прямоугольные, а ортонормированные системы координат? (Изменим длину ортов - выражение изменится). Если в ортонормированных, то 1) Определение скалярного произведения не зависит от выбора системы координат, 2) В любом ортонормированном базисе скалярное произведение записывается в виде выражения, инвариантность которого доказываем. И всё доказано. Дополнительно придаёт уверенность, что переход от одного ортонормированного базиса к другому задаётся ортогональным преобразованием, которое сохраняет скалярное произведение.

[arseniiv]

Какие могут быть ортонормированные базисы, пока не введено скалярное произведение?

Но, ладно, мы ввели его пока зависящим от одного базиса. Теперь если выразить его в координатах в другом базисе и потребовать ортонормированность того базиса, получится такое же выражение, как сейчас. Независимость от базиса готова. Ортогональные преобразования хорошо пойдут, если скалярное произведение введено своими аксиомами.

-- Сб май 24, 2014 14:28:04 --

Конечно, ортонормированность базиса можно определить, имея в наличии одну только норму… но это как-то неудобно, всё равно произведение возникнет. Вот в задаче норма уже дана.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #867249 писал(а):

Какие могут быть ортонормированные базисы, пока не введено скалярное произведение?

Но, ладно, мы ввели его пока зависящим от одного базиса. Теперь если выразить его в координатах в другом базисе и потребовать ортонормированность того базиса, получится такое же выражение, как сейчас. Независимость от базиса готова. Ортогональные преобразования хорошо пойдут, если скалярное произведение введено своими аксиомами.

-- Сб май 24, 2014 14:28:04 --

Конечно, ортонормированность базиса можно определить, имея в наличии одну только норму… но это как-то неудобно, всё равно произведение возникнет. Вот в задаче норма уже дана.

пойду линал учить..