fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 14:29 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Доброго дня всем!
Подскажите пожалуйста. Можно ли выбрать какой нибудь ортогональный базис в пространстве быстроубывающих функций(Шварца): $x^n \partial^k(f(x))\rightarrow 0$ при $|x|\rightarrow \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 14:32 


10/02/11
6786
а что такое ортогональный базис в пространстве Шварца?

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
TelmanStud в сообщении #866934 писал(а):
Доброго дня всем!
Подскажите пожалуйста. Можно ли выбрать какой нибудь ортогональный базис в пространстве быстроубывающих функций(Шварца): $x^n \partial^k(f(x))\rightarrow 0$ при $|x|\rightarrow \infty$.
А какое в этом пространстве скалярное произведение? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 16:50 


10/02/11
6786

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 17:09 


10/02/11
6786

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 17:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 17:36 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Скалярное произведение в виде
$ \langle f, g \rangle =\int_{-\infty }^{\infty } f(x)g(x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 17:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TelmanStud в сообщении #867015 писал(а):
Скалярное произведение в виде
$ \langle f, g \rangle =\int_{-\infty }^{\infty } f(x)g(x)dx$

Ради бога. Но тогда в каком смысле "базис"?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 17:56 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Ну в смысле, чтоб произвольный $f(x)$ из этого пространства разложить по этому базису

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 18:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TelmanStud в сообщении #867020 писал(а):
произвольный $f(x)$ из этого пространства разложить по этому базису

Разложить-то можно. Однако в каком смысле это разложение будет сходиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 18:15 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Значит я слишком многого хочу((

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 18:44 


12/05/11
35
1. Топология в пространстве Шварца ненормируема (т.е. не может быть задана с помощью одной нормы)
2. Существуют сепарабельные метризуемые локально выпуклые пространства, топология в которых определяется счётным набором евклидовых норм, и в которых нет базиса. Примеры ядерных метризуемых пространств построены Митягиным, Джаковым, Зобиным.
3. Пространстве Шварца ядерно и нём базис существует. Под руками у меня есть только обзор Митягина "Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах" (Успехи Математических Наук, № 16, вып. 4, параграф 7):
$
h_n(t)=\frac{(-1)^{n}}{(2^{n}n!)^{1/2}\pi^{1/4}}e^{t^2/2}\frac{\partial^n e^{-t^2}}{\partial t^{n}}
$
Биортогональная последовательность функционалов
$
h'_n(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}h_n(t)f(t)\,dt, f \in S.
$
Тогда для любой функции \(f \in S\) ряд \(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}h'_n(f)h_n\) сходится в топологии пространства \(S\) к \(f\)

Добавлено позже
Это утверждение доказывается в книге Саймона-Рида. Идея доказательства - базис образуют собственные функции некоторого дифференциального оператора. Деталей не помню и книги под руками нет. Ещё можно посмотреть книгу Фогта-Майзе. В ней формулируются условия существования базиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 18:47 


10/02/11
6786

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Базис в пространстве Шварца
Сообщение23.05.2014, 19:15 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Mikhael
Спасибо большое

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group