Базис в пространстве Шварца

[TelmanStud]

Доброго дня всем!
Подскажите пожалуйста. Можно ли выбрать какой нибудь ортогональный базис в пространстве быстроубывающих функций(Шварца): $x^n \partial^k(f(x))\rightarrow 0$ при $|x|\rightarrow \infty$.

[Oleg Zubelevich]

а что такое ортогональный базис в пространстве Шварца?

[Brukvalub]

TelmanStud в сообщении #866934 писал(а):

Доброго дня всем!
Подскажите пожалуйста. Можно ли выбрать какой нибудь ортогональный базис в пространстве быстроубывающих функций(Шварца): $x^n \partial^k(f(x))\rightarrow 0$ при $|x|\rightarrow \infty$.

А какое в этом пространстве скалярное произведение?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

а что если задать в пространстве Шварца топологию скалярными произведениями

$(f,g)_{kn}=\int_{\mathbb{R}}(1+x^2)^k\sum_{j=0}^n(f(x)g(x))^{(j)}dx,\quad k,n\ge 0$

сдается мне, что эта топология эквивалентна стандартной

[Brukvalub]

(Оффтоп)

И что, оно станет Предгильбертовым, Гильбертовым или еще каким-нибудь, где есть ортогональные базисы?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

про базисы я не говорил, но вот прострнство Фреше в котором топология задается скалярными произведениями наверняка должно быть стандартным объектом функана и наверняка где-то изучаплось

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #867008 писал(а):

прострнство Фреше в котором топология задается скалярными произведениями наверняка должно быть стандартным объектом функана

А зачем ему быть им?... Ведь ценность скалярного произведения именно в том, что оно одно.

Вот прикиньте, к примеру: что относительно Ваших скалярных произведений могло бы означать ортогональность?...

[TelmanStud]

Скалярное произведение в виде
$ \langle f, g \rangle =\int_{-\infty }^{\infty } f(x)g(x)dx$

[ewert]

TelmanStud в сообщении #867015 писал(а):

Скалярное произведение в виде
$ \langle f, g \rangle =\int_{-\infty }^{\infty } f(x)g(x)dx$

Ради бога. Но тогда в каком смысле "базис"?...

[TelmanStud]

Ну в смысле, чтоб произвольный $f(x)$ из этого пространства разложить по этому базису

[ewert]

TelmanStud в сообщении #867020 писал(а):

произвольный $f(x)$ из этого пространства разложить по этому базису

Разложить-то можно. Однако в каком смысле это разложение будет сходиться?

[TelmanStud]

Значит я слишком многого хочу((

[Mikhael]

1. Топология в пространстве Шварца ненормируема (т.е. не может быть задана с помощью одной нормы)
2. Существуют сепарабельные метризуемые локально выпуклые пространства, топология в которых определяется счётным набором евклидовых норм, и в которых нет базиса. Примеры ядерных метризуемых пространств построены Митягиным, Джаковым, Зобиным.
3. Пространстве Шварца ядерно и нём базис существует. Под руками у меня есть только обзор Митягина "Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах" (Успехи Математических Наук, № 16, вып. 4, параграф 7):
$ h_n(t)=\frac{(-1)^{n}}{(2^{n}n!)^{1/2}\pi^{1/4}}e^{t^2/2}\frac{\partial^n e^{-t^2}}{\partial t^{n}} $
Биортогональная последовательность функционалов
$ h'_n(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}h_n(t)f(t)\,dt, f \in S. $
Тогда для любой функции \(f \in S\) ряд \(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}h'_n(f)h_n\) сходится в топологии пространства \(S\) к \(f\)

Добавлено позже
Это утверждение доказывается в книге Саймона-Рида. Идея доказательства - базис образуют собственные функции некоторого дифференциального оператора. Деталей не помню и книги под руками нет. Ещё можно посмотреть книгу Фогта-Майзе. В ней формулируются условия существования базиса.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #867014 писал(а):

зачем ему быть им?... Ведь ценность скалярного произведения именно в том, что оно одно.

Вот прикиньте, к примеру: что относительно Ваших скалярных произведений могло бы означать ортогональность?...

боюсь, что Вас опять подводит кругозор: http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 7X81901153

[TelmanStud]

Mikhael
Спасибо большое