Что такое матрица плотности?

[Munin]

g______d в сообщении #577605 писал(а):

Ну да, но коллапс все-таки подразумевает наличие классического прибора, а на самом деле все приборы состоят из атомов и являются квантовыми.

Вот тут загвоздка. Мы "теоретически знаем", что они являются квантовыми, но описать их таковыми не можем. И наоборот, экспериментально мы хорошо видим, что они классические. Например, мы не можем привести прибор в состояние суперпозиции. Так что, если быть более честными, теория, что приборы квантовые, пока не находит экспериментального подтверждения, а теория, что они классические, железно подтверждается :-)

g______d в сообщении #577605 писал(а):

Наверное, правильной является точка зрения, что существует некоторый предельный переход при количестве частиц прибора, стремящемся к бесконечности, в котором он ведет себя как классический.

Наверное, но проблема в том, что мы этого предельного перехода пока не нашли.

[type2b]

почему же, этот предельный переход -- декогеренция.

[Munin]

type2b в сообщении #577765 писал(а):

почему же, этот предельный переход -- декогеренция.

Ну да, я и говорю, пока не нашли. Декогеренция - пока мечта и направление исследований.

[Vector_Alfa]

Несколько глупых вопросов по-поводу матриц плотностей.
Почему она (матрица) должа быть эрмитовой?
Какой физический смысл недиагональных компонент?

[Munin]

Эрмитовой она должна быть по построению: если вектор состояния $|\psi\rangle,$ то матрица плотности

$$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|,$$

а если состояние - смесь векторов состояния $|\psi_i\rangle,$ то матрица плотности

$$\rho=\sum_i c_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|.$$

Все слагаемые эрмитовы.

Физический смысл недиагональных компонент - в том, что вы не диагонализировали её выбором базиса. То есть, вы должны рассматривать другие базисные состояния, не такие, как сейчас, и в них она будет иметь диагональный вид. Рекомендую элементарные упражнения, которые я давал в начале темы: сообщение post575385.html#p575385 и последующие.

[Vector_Alfa]

Munin в сообщении #736283 писал(а):

Эрмитовой она должна быть по построению: если вектор состояния $|\psi\rangle,$ то матрица плотности

$$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|,$$

а если состояние - смесь векторов состояния $|\psi_i\rangle,$ то матрица плотности

$$\rho=\sum_i c_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|.$$

Все слагаемые эрмитовы.

Физический смысл недиагональных компонент - в том, что вы не диагонализировали её выбором базиса. То есть, вы должны рассматривать другие базисные состояния, не такие, как сейчас, и в них она будет иметь диагональный вид. Рекомендую элементарные упражнения, которые я давал в начале темы: сообщение post575385.html#p575385 и последующие.

Спасибо.
Понятно, что можно привести к диагональному виду в некотором базисе.
Вопрос - что означают (с точки зрения интерпретации) недиагональные компоненты именно в базисе смешанного состояния.
Если, как я понимаю, они отображают интерференцию между амплитудами базисных векторов/состояний, то может-ли быть "выдумана" непротиворечивая в математическом смысле физика, в которой матрицы плотностей не эрмитовы и соответственно в смешанном состояни, взаимодействия между подсистеммами несимметричны?
Прошу прощения если это звучит совсем глупо.

-- 13.06.2013, 17:00 --

Поискал в сети. Оказывается есть неэрмтиовые теории в КМ. Очень интересно.
http://www.ias.ac.in/pramana/v73/p485/p485.pdf

[Munin]

Vector_Alfa в сообщении #736301 писал(а):

Вопрос - что означают (с точки зрения интерпретации) недиагональные компоненты именно в базисе смешанного состояния.

Смешанное состояние - это всегда смесь чистых состояний, взятых с какими-то весовыми коэффициентами. Диагонализирующий базис отвечает на вопрос, каких именно (точнее, он накладывает ещё условие ортогональности состояний, иначе ответ будет неоднозначным).

Vector_Alfa в сообщении #736301 писал(а):

Если, как я понимаю, они отображают интерференцию между амплитудами базисных векторов/состояний

Ну, это как-то слишком пальцами-в-воздухе-вертетельно сформулировано. Давайте почётче, желательно, с формулами, тогда я смогу ответить.

Vector_Alfa в сообщении #736301 писал(а):

может-ли быть "выдумана" непротиворечивая в математическом смысле физика, в которой матрицы плотностей не эрмитовы и соответственно в смешанном состояни, взаимодействия между подсистеммами несимметричны?

Выдумывайте, вам и карты в руки :-)

В физике много чего можно "выдумать". Результаты бывают такие:
- нечто, эквивалентное уже существующему;
- нечто, уже выдуманное другими, но неизвестное вам лично, например, описанное в дальнем углу другого учебника;
- нечто новое, уже выдуманное другими, но по тем или иным причинам неинтересное;
- нечто действительно новое. Этот вариант бывает реже всего (скажем, для студенческих идей - около 1 %), но к нему надо стремиться, если вы хотите быть учёным.

Причины неинтересности могут быть такими:
- нечто неверно, поскольку противоречит известным фактам и надёжно установленным теориям;
- нечто непроверяемо в принципе, и не даёт никаких полезных предсказаний о том, что можно наблюдать в природе;
- нечто проверяемо в принципе, но слишком далеко от нынешних возможностей экспериментов и наблюдений.

С другой стороны, надо учитывать и неочевидные причины интересности:
- нечто может быть неверно в целом, но давать хорошее приближение и упрощение, позволяющее сократить расчётную работу, и приближаться постепенно к результату, почти недоступному "в лоб";
- нечто может быть непроверяемо напрямую, но может давать косвенные последствия и результаты, которые всё-таки могут быть проверены - наличие таких косвенных последствий может быть неочевидно вначале;
- нечто может быть эквивалентно уже существующему, но давать более красивый или эффективный вариант, вести к другим теоретическим идеям и обобщениям;
- нечто может противоречить известным фактам, но при этом быть удачной "игрушечной" теоретической моделью, на которой можно отрабатывать рассмотрения и методы, которые потом применяются к "настоящей физике".

Короче, дерзайте!

-- 13.06.2013 19:07:56 --

Vector_Alfa в сообщении #736301 писал(а):

Поискал в сети. Оказывается есть неэрмтиовые теории в КМ. Очень интересно.
http://www.ias.ac.in/pramana/v73/p485/p485.pdf

Ну, индийский физический журнал - это несолидно. Ищите по arXiv. Основные результаты здесь опубликованы на уровне не ниже Phys Rev или Phys Rev Letters. Остальное - перепевы и маргинальщина. Впрочем, есть шанс найти хороший обзор.

[rotozeev]

А вот такой вопрос. Матрица плотности - эрмитов оператор, а значит, ему соответствует какая то наблюдаемая величина, измеряя которую мы будем получать собственные значения этой матрицы плотности. Но для разных систем такая вот наблюдаемая, соответствующая матрице плотности, может быть довольно замысловатой. Есть ли общие правила, теоремы относительно нахождения вида и измерения таких величин. Может быть они имеют какое то особенное значение?

[Munin]

rotozeev в сообщении #866464 писал(а):

Матрица плотности - эрмитов оператор, а значит, ему соответствует какая то наблюдаемая величина

Э нет.

Матрица плотности - эрмитов оператор, верно. Но она зависит от состояния системы. А наблюдаемые величины - это операторы сами по себе, выбранные как-то постоянным образом.

Так что "измерять её" мы не сможем.

[Nirowulf]

Munin
Какие-либо утверждения из этого сумбурного набора похожи на правду?

Цитата:

В смешанном состоянии, в отличие от суперпозиции состояний, различные квантовые состояния не интерферируют между собой, так как при определении среднего складываются не волновые функции, а средние значения.

Когда у нас есть суперпозиция состояний, то у нас для каждого состояния есть полный набор измеряемых величин и набор экспериментов, который приведёт к достоверным результатам. Для смешанного состояния как раз по определению нету полного набора величин и измерений, приводящих к достоверным результатам.

Говоря научным языком, смешанное состояние это некогерентная суперпозиция.

В случае смешанного состояния у нас есть вероятности самих чистых состояний, а не результатов измерений, как в случае суперпозиции.

[fizeg]

Nirowulf
Не такой уж сумбурный набор, как вам кажется. Ну разве что

Цитата:

Когда у нас есть суперпозиция состояний, то у нас для каждого состояния есть полный набор измеряемых величин и набор экспериментов, который приведёт к достоверным результатам. Для смешанного состояния как раз по определению нету полного набора величин и измерений, приводящих к достоверным результатам.

так можно не понять, о чем речь. А речь о том, что для чистого состояния $\vert a\rangle$ существуют набор (не всегда реализуемых) наблюдаемых, для которых оно является собственным состоянием (и можно считать, что данная наблюдаемая имеет конкретное значение). Простейший пример - проектор на это состояние $\vert a\rangle\langle a\vert$ тоже является самосопряженным оператором, для которого оно является собственным.

И употребление словосочетания "некогерентная суперпозиция" (допускаю, что среди оптиков употребляется) особенно после того, как в предыдущем абзаце "суперпозиция" употреблялась строго в смысле "когерентной суперпозиции"

-- 23.05.2014, 23:30 --

rotozeev
можно взять матрицу плотности какого-то фиксированного состояния и считать ее наблюдаемой. Может даже удастся реализовать, с помощью какого-нибудь измерения. В общем-то любая наблюдаемая с положительными собственными значениями это какая-то матрица плотности, умноженная на число. Особого смысла не вижу.

Ну и матрица плотности всегда совпадающая с матрицей плотности, на которой она считается, линейным оператором действительно не является

-- 23.05.2014, 23:42 --

Про индусов. Неэрмитовые гамильтонианы с PT симметрией не они придумали. И далеко не они одни их изучают. Хотя в реальности это не совсем неэрмитовые гамильтонианы, а эрмитовые относительно нестандартной нормы

[Sicker]

а как, зная матрицу плотности, найти вероятности распределения какой-то физической величины, а не ее среднее значение?

[Munin]

Sicker
А когда вы, наконец, сначала будете смотреть в учебник, а потом уже идти на форум задавать идиотские вопросы?

[Sicker]

я смотрел, в ландау этого нет
он сначала говорит о средних, а потом уже переходит к эволюции состояний

-- 11.01.2015, 03:54 --

(Оффтоп)

а кстати не подскажите как писать значек тензорного произведения, а то я хочу разверстаться

[Munin]

(Оффтоп)

Векторное произведение обозначают по-разному, я обычно видел [] и \times.

Ландау этого, действительно, не произносит явно и как общее утверждение. Он показывает это только на примере координатного представления: диагональные элементы матрицы плотности есть соответствующие вероятности. Но это верно и в любом другом представлении.