Парадокс Банаха — Тарского и квадратура круга Тарского

[Munin]

А понятие "конструктивное доказательство" - это другой термин?

[g______d]

Munin в сообщении #865925 писал(а):

А понятие "конструктивное доказательство" - это другой термин?

Условно можно разделить построения на 3 типа:

1) Явное предъявление объекта.
2) Предъявление, в процессе которого используется аксиома выбора.
3) Доказательство того, что объект существует, без его предъявления (например, от противного).

Первый тип называют конструктивными, третий – нет, второй – когда как.

[Anixx]

Второй и третий - это одно и то же. Точнее, второй, если используется аксиома выбора с бесконечными множествами, - это самый плохой вариант третьего.

[g______d]

Anixx в сообщении #865934 писал(а):

Второй и третий - это одно и то же.

Ничего подобного. Существование неизмеримого по Лебегу подмножества доказывается с помощью аксиомы выбора (классы эквивалентности со сдвигом на рациональные числа), пункт 2. Существование подмножества, измеримого по Лебегу, но не измеримого по Борелю, доказывется через сравнение мощностей, это в чистом виде пункт 3.

[Munin]

g______d
Thanks.

[Xaositect]

g______d в сообщении #865952 писал(а):

Ничего подобного. Существование неизмеримого по Лебегу подмножества доказывается с помощью аксиомы выбора (классы эквивалентности со сдвигом на рациональные числа), пункт 2. Существование подмножества, измеримого по Лебегу, но не измеримого по Борелю, доказывется через сравнение мощностей, это в чистом виде пункт 3.

Без аксиомы выбора существует модель теории множеств, в которой любое множество действительных чисел измеримо по Борелю (и имеет меру 0).

[g______d]

Xaositect в сообщении #865967 писал(а):

Без аксиомы выбора существует модель теории множеств, в которой любое множество действительных чисел измеримо по Борелю (и имеет меру 0).

Я не утверждаю, конечно, что в третьем случае аксиома выбора не используется; даже доказательства с её использованием могут быть явными и неявными.

[Lukin]

(Оффтоп)

Автору темы (популярно и не строго).
О равносоставленности и равноразложимости (предупреждение: ссылка на скачивание, .doc формат, к сожалению)

[Someone]

g______d в сообщении #865931 писал(а):

Munin в сообщении #865925 писал(а):

А понятие "конструктивное доказательство" - это другой термин?

Условно можно разделить построения на 3 типа:

1) Явное предъявление объекта.
2) Предъявление, в процессе которого используется аксиома выбора.
3) Доказательство того, что объект существует, без его предъявления (например, от противного).

Первый тип называют конструктивными, третий – нет, второй – когда как.

Anixx в сообщении #865934 писал(а):

Второй и третий - это одно и то же. Точнее, второй, если используется аксиома выбора с бесконечными множествами, - это самый плохой вариант третьего.

Я не понимаю, почему именно аксиома выбора вызывает такую жгучую ненависть у неспециалистов, не понимающих, о чём идёт речь.

Неконструктивность в теории множеств с аксиомой выбора вызвана вовсе не аксиомой выбора, причины этой неконструктивности находятся глубже. Достаточно сказать, что аксиома выбора используется в конструктивной математике и имеет там вполне конструктивный характер. (Справочная книга по математической логике. Часть IV. Теория доказательств и конструктивная математика. Москва, "Наука", 1983. Глава 5, § 4, формула AC—NN.)

Теория множеств без аксиомы выбора неконструктивна ровно в такой же степени, как и с аксиомой выбора, просто запрещены некоторые широко применяемые в математике построения, что создаёт массу проблем, часто неразрешимых.
Причиной неконструктивности является неконструктивная интерпретация математической логики (подробнее о конструктивной логике можно прочесть в указанной выше книге). К аксиоме выбора имеет отношение неконструктивная интерпретация квантора существования: мы можем утверждать существование объекта, не предъявляя его явно.

Пример. Множество $a$ называется непустым, если $\exists x(x\in a)$. Типичным является следующее рассуждение: "так как множество $a$ не пусто, существует принадлежащий ему элемент; возьмём любой такой элемент и обозначим его $b$; тогда…"
Это рассуждение не конструктивно ровно в такой же степени, как аксиома выбора.

g______d в сообщении #865887 писал(а):

warlock66613 в сообщении #865762 писал(а):

Кстати, а доказано ли, что подобное разбиение нельзя построить конструктивно?

Конструктивные множества, насколько я понимаю, измеримы, а с измеримыми множествами такие конструкции невозможны.

Я этого высказывания не понимаю. В каком смысле употреблён термин "конструктивное множество"?.
Во-первых, в конструктивной математике существует много направлений с разной степенью конструктивности. Например, финитизм, который признаёт только конечные множества, причём, только такие, для которых все элементы выписаны явно. Можно ли в финитизме говорить о теории меры? В интуиционизме и в конструктивном рекурсивном анализе множество считается заданным, если оно определено, то есть, выписано высказывание, определяющее принадлежность элементов этому множеству (типа $a=\{x:\varphi(x)\}$). Что там у них с теорией меры, я не в курсе.
Во-вторых, я знаю только один смысл термина "конструктивное множество", или, точнее, "конструктивное по Гёделю множество" и его обобщения: А.Мостовский. Конструктивные множества и их приложения". "Мир", Москва, 1973. К конструктивной математике это отношения не имеет. Это так называемые "определимые множества". Совокупность всех конструктивных по Гёделю множеств образует модель теории множеств ZF, в которой выполняются аксиома выбора и обобщённая континуум-гипотеза, и это есть наименьшая модель, содержащая все ординалы (так называемый "конструктивный универсум"). Разумеется, неизмеримые множества в этой модели есть. Поскольку все множества в конструктивном универсуме имеют определения (типа $a=\{x:\varphi(x)\}$), то и функция выбора в аксиоме выбора имеет какое-то определение.

Дополнение. Забыл предупредить, что большим знатоком конструктивной математики себя не считаю, так что, может быть, где-нибудь там термин "конструктивное множество" и встречается.