Парадокс Банаха — Тарского и квадратура круга Тарского

[Linkey]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Банаха_—_Тарского
http://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратура_круга_Тарского

Прошу помочь понять суть этих парадоксов. Первый парадокс - как составить из шара две кго копии. По второй ссылке написано, что окружность можно разбить на $10^{50}$ частей, и собрать из этих частей квадрат. Ну бред же, ведь любой участок окружности конечной длины будет кривой, а не прямой?

[Lukum]

Это игры математиков с бесконечностями, упрощенно говоря.

[shwedka]

Linkey в сообщении #864201 писал(а):

Прошу помочь понять суть этих парадоксов.

Очень просто. В статьях ВИКИ указаны ссылки с подробным изложением.
Не ждите, что кто-то здесь станет Вам пересказывать то, что Вы самостоятельно можете прочитать в литературе.

[DenCoder]

Вполне себе решается задача с квадратурой круга, правда очень много этапов. Но в уме пару можно представить, чтобы понять этот фокус.

1) Делим круг на 4 равные части, получатся 4 треугольника с круглой гипотенузой;
2) Складываем их так, чтобы получился квадрат с стороной $\sqrt{\pi} r$;
3) Пересекающиеся части убираем в равной мере от каждой из 4 частей и делим так, чтобы закрылась большая часть квадрата внутри с вогнутыми сторонами
...

На втором этапе получается что-то вроде
Но это слишком упрощённо. Меня удивило, что потребовалось $10^{50}$ частей

[warlock66613]

DenCoder в сообщении #864251 писал(а):

правда очень много этапов

Описанный вами алгоритм никогда не закончится, в нём бесконечное число этапов и бесконечное число частей, то есть это не алгоритм и он не имеет отношения к парадоксу.

-- 17.05.2014, 14:17 --

Linkey в сообщении #864201 писал(а):

Ну бред же, ведь любой участок окружности конечной длины будет кривой, а не прямой?

Ну правильно, поэтому обязательно должны быть среди частей части нулевой длиныплощади.

[Nemiroff]

DenCoder в сообщении #864251 писал(а):

Вполне себе решается задача с квадратурой круга, правда очень много этапов. Но в уме пару можно представить, чтобы понять этот фокус.

Восхитительный бред.

Linkey в сообщении #864201 писал(а):

Ну бред же, ведь любой участок окружности конечной длины будет кривой, а не прямой?

Ага. Ичё?

[warlock66613]

Linkey в сообщении #864201 писал(а):

По второй ссылке написано, что окружность можно разбить на $10^{50}$ частей, и собрать из этих частей квадрат.

Нет, там такого не написано.

[Lia]

Linkey
Поправьте ссылки, иначе унесу в Карантин.

[Linkey]

Парадокс_Банаха_—_Тарского

Квадратура_круга_Тарского

[DenCoder]

Nemiroff в сообщении #864307 писал(а):

Восхитительный бред.

Докажите!

[Nemiroff]

DenCoder в сообщении #864399 писал(а):

Докажите!

Как известно, $\pi$ равно четырём.

[hurtsy]

shwedka в сообщении #864227 писал(а):

В статьях ВИКИ указаны ссылки с подробным изложением.
Не ждите, что кто-то здесь станет Вам пересказывать то, что Вы самостоятельно можете прочитать в литературе.

Пресловутая ВИКИ утверждает, что все в этих парадоксах связано с неизмеримыми множествами и даже с Аксиомой Выбора. Человек способный самостоятельно разобраться по литературе в этих вопросах не имея за плечами хотя бы З курса мехмата не станет "надоедливо" беспокоить ЗУ . С уважением,

[DenCoder]

Позвольте, я опровергну

Существует много формул числа $\pi$. Одна из них: $\begin \pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right) \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right) \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right) \end$
что даёт в сумме

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Но можно проще: $\pi$ - иррационально, что доказано Иоганном Ламбертом в 1761 году.

Так как, если существует 2 доказательства, утверждающие различные друг от друга результаты, то одно из них неверно и n доказательств одного и того же результата усиливают его верность, то, следовательно, оно - факт, и доказательства, опровергающие его, вроде $\pi = 4$ неверны!

А вообще, не смог уловить, в чём фокус, непосредственно само приведённое Вами "доказательство" не могу опровергнуть, не видно ошибки )

[kp9r4d]

DenCoder в сообщении #864430 писал(а):

А вообще, не смог уловить, в чём фокус, непосредственно само Ваше доказательство не могу опровергнуть, не видно ошибки )

В неявном предположении того, что длина предельной кривой равна пределу длин стремящихся к ней кривых.

[DenCoder]

kp9r4d
Благодарю, буду знать ))