"Кулоновский" потенциал одиночного события

[Time]

Хорошо изучены и имеют широкое применение в физике кулоновские потенциалы в евклидовых пространствах различной размерности. Они имеют физический смысл центрально симметричных векторных полей точечных зарядов соответствующей размерности.
Однако, если вместо $n$-мерного евклидова пространства центрально симметричное решение (сферу тут следует понимать в гиперболическом смысле с "радиусом" $S$ в виде интервала) рассмотреть уже в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени, то вместо уравнения Лапласа придется решать уравнение Даламбера. Поскольку решение из условий сферической симметрии должно зависеть только от $S$, достаточно рассмотреть уравнение вида:
$\frac{1}{S^3}\frac{\partial }{\partial S}\left(S^3\frac{\partial f}{\partial S}\right)}=0$
для $S>0$.

Его решение, вероятно, должно иметь вид:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$

По логике, пространственно-временное поле с таким потенциалом должно быть полем одиночной особенности, имеющей сингулярность на изотропном конусе, проходящем через начало координат и может интерпретироваться как "кулоновский" потенциал одиночного сингулярного события, произошедшего в точке с координатами (0,0,0,0). Кто ни будь сталкивался с таким решением уравнения Даламбера и его физическими интерпретациями?

[g______d]

Time в сообщении #865912 писал(а):

Кто ни будь сталкивался

Откройте уже наконец любой учебник по матфизике, в котором написано про фундаментальное решение волнового уравнения.

[Time]

g______d
Открывал.. Не нашел того решения, о котором я говорил выше. Там рассматривается мгновенное воздействие в одной точке пространства-времени и в решении фигурирует функция Хевисайда.
Иными словами, решается уравнение Даламбера с дельта-функцией в точке.
Если бы Вы не раздражались с пол оборота, а более внимательно отнеслись к моему вопросу, то заметили бы, что я подчеркнул наличие сингулярности не только в точке, но и на проходящем через нее изотропном конусе. Это совсем не то же самое, что искать решение уравнения Даламбера с дельта-функцией в точке. Если угодно идти именно путем обобщенных функций, то в той постановке задачи, о которой я говорю, в правую часть уравнения Даламбера нужно ставить не дельта функцию в точке, а "размазанную" по изотропному конусу. На сколько я знаю, такого фундаментального решения волнового уравнения в учебниках нет. (Если, вдруг, знаете, где именно такое решение рассматривается, прошу дать конкретную ссылку, а не посылать абстрактно..)
Если не верите, что приведенная мной функция
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$ (1)
является решением уравнения

$\frac{1}{S^3}\frac{\partial }{\partial S}\left(S^3\frac{\partial f}{\partial S}\right)}=0$
для $S>0$,
которое является волновым для случая центральной симметрии - можете проверить непосредственной подстановкой. Как видите, в этом решении нет функции Хевисайда и именно оно в точности соответствует аналогичному решению уравнения Лапласа для точечного источника в четырехмерном евклидовом пространстве.
Поэтому еще раз повторю свой вопрос: "Кто ни будь знаком именно с таким решением уравнения Даламбера, а не с тем, что расписано в "любом учебнике по матфизике"?

[g______d]

Time в сообщении #865939 писал(а):

Если, вдруг, знаете, где именно такое решение рассматривается, прошу дать конкретную ссылку, а не посылать абстрактно..

Гельфанд, Шилов, "Обобщенные функции и действия над ними", том первый, глава III, параграф 2, пункт 5, страница 346, $p=1$, $q=3$, $n=4$, $k=1$.

[Munin]

Time в сообщении #865939 писал(а):

Не нашел того решения, о котором я говорил выше.

Потому что в этом ваша главная ошибка: вы выковыриваете решение из носа, и потом его в литературе ищете. А надо брать уравнение, и честно решать, и тогда это (честное) решение можно будет легко найти в литературе.

Хотя бы
Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. 2001.

[Time]

g______d в сообщении #865947 писал(а):

Гельфанд, Шилов, "Обобщенные функции и действия над ними", том первый, глава III, параграф 2, пункт 5, страница 346, $p=1$, $q=3$, $n=4$, $k=1$

Спасибо. Можно ли Вас понимать так, что соответствующее центрально-симметричное решение четырехмерного уравнения Даламбера хорошо известно не только математикам, но и физикам?
Если да, остаются несколько вопросов.
1. Является ли это решение фундаментальным? Или фундаментальным считается только то, что связано с функцией Хевисайда?
2. Известны ли Вам физические интерпретации такого решения? Если да, то какие именно?

[SergeyGubanov]

Time в сообщении #865912 писал(а):

Однако, если вместо $n$-мерного евклидова пространства центрально симметричное решение (сферу тут следует понимать в гиперболическом смысле с "радиусом" $S$ в виде интервала) рассмотреть уже в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени, то вместо уравнения Лапласа придется решать уравнение Даламбера. Поскольку решение из условий сферической симметрии должно зависеть только от $S$, достаточно рассмотреть уравнение вида:
$\frac{1}{S^3} \frac{\partial}{\partial S} \left( S^3 \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$
для $S>0$.

А что такое $S$ и какое отношение уравнение $\frac{1}{S^3} \frac{\partial}{\partial S} \left( S^3 \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$ имеет к волновому уравнению Д'Аламбера?

[Time]

SergeyGubanov в сообщении #865991 писал(а):

А что такое $S$ и какое отношение уравнение $\frac{1}{S^3} \frac{\partial}{\partial S} \left( S^3 \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$ имеет к волновому уравнению Д'Аламбера?

$S$- интервал пространства Минковского. Если от ортонормированных координат последнего $(t,x,y,z)$ перейти к центрально симметричным координатам $(S,a,b,c)$, где $a,b,c$- гиперболические углы, переписать волновое уравнение в этих новых координатах и затем учесть, что ищется решение не зависящие от углов, а только от интервала то останется:
$\frac{1}{S^3} \frac{\partial}{\partial S} \left( S^3 \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$

Это в точности то же самое, что переписать четырехмерное уравнение Лапласа для точечного источника в правой части в сферической системе координат и получить:
$\frac{1}{R^3} \frac{\partial}{\partial R} \left( R^3 \frac{\partial f}{\partial R} \right) = 0$.

Решение последнего и есть кулоновский потенциал одиночного источника в четырехмерном евклидовом пространстве:
$f(R)=c_0+\frac{c_1}{R^2}$

По аналогии, решение:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$
так же, в определенном смысле, можно рассматривать как потенциал одиночного "источника" в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского. Только особенность у него не в точке (как у источников евклидовых пространств или у того решения, что обычно именуют фундаментальным решением волнового уравнения), а "размазана" по трехмерному подпространству светового конуса. Меня интересует вопрос, рассматривал ли кто из физиков такой потенциал элементарных "сферически" симметричных гиперболических "источников" и что именно у них получилось (не получилось)?

[Munin]

Time в сообщении #865971 писал(а):

Можно ли Вас понимать так, что соответствующее центрально-симметричное решение четырехмерного уравнения Даламбера хорошо известно не только математикам, но и физикам?

Физикам хорошо известно правильное решение четырёхмерного уравнения Д'Аламбера.

-- 21.05.2014 15:06:47 --

Time в сообщении #865992 писал(а):

Это в точности то же самое, что переписать четырехмерное уравнение Лапласа

Нет, не то же самое.

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #865992 писал(а):

Это в точности то же самое, что переписать четырехмерное уравнение Лапласа для точечного источника в правой части в сферической системе координат и получить:
$\frac{1}{R^3} \frac{\partial}{\partial R} \left( R^3 \frac{\partial f}{\partial R} \right) = 0$.

Для справки, четырехмерное уравнение Лапласа для точечного источника в правой части в сферической системе координат это
$ \cfrac{\partial f}{\partial t^2} - \cfrac{1}{r^2} \cfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cfrac{\partial f}{\partial r} \right) - r^2 \Delta_{\theta \vaprhi} f = \delta(t) \delta(r) \delta(\theta) \delta(\varphi) $
а не то, что вы написали.

А вот

Time в сообщении #865992 писал(а):

Если от ортонормированных координат последнего $(t,x,y,z)$ перейти к центрально симметричным координатам $(S,a,b,c)$, где $a,b,c$- гиперболические углы

бред просто.

Откройте, наконец, учебники. Хотя бы по СТО. Чтобы иметь представление о том, что такое пространство Минковского.

[Time]

EvilPhysicist в сообщении #866094 писал(а):

Для справки, четырехмерное уравнение Лапласа для точечного источника в правой части в сферической системе координат это
$ \cfrac{\partial f}{\partial t^2} - \cfrac{1}{r^2} \cfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cfrac{\partial f}{\partial r} \right) - r^2 \Delta_{\theta \vaprhi} f = \delta(t) \delta(r) \delta(\theta) \delta(\varphi) $

Во-первых, не Лапласа, а Даламбера. Но это, мелкая придирка.
Попробуйте записать именно уравнение Лапласа для точечного источника и именно в четырехмерном евклидовом пространстве, используя сферическую систему координат этого пространства, в котором радиус четырехмерной сферы:
$R^2=x^2+y^2+z^2+p^2$,
а от трех углов решение не зависит.
Может тогда поймете, о чем я написал выше.
Во-вторых, с точки зрения четырехмерного пространства Минковского помимо той системы координат, в которой Вы записали уравнение Даламбера и которая часто, действительно, называют сферической системой координат (на самом деле, в смысле четырехмерия, эта система координат ближе к цилиндрической с осью цилиндра $t$) можно ввести более симметричную систему координат, где роль "радиус вектора" играет четырехмерный интервал:
$S^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.
а роль направляющих углов будут играть гиперболические углы между этим "радиус вектором" и гиперплоскостями, натянутыми на орты $t-x-y, t-x-z, t-y-z$, соответственно. Такие углы брать удобнее всего, так как просто углы времениподобного "радиус вектора" с ортогональными осями $x, y, z$ являются мнимыми и содержат бесконечные значения.
То, что Вы не знаете такой центрально симметрической системы координат и не можете ее сходу представить - говорит о слабом геометрическом воображении и отсутствии самостоятельного мышления.

EvilPhysicist в сообщении #866094 писал(а):

а не то, что вы написали.

Я записал левую часть четырехмерного уравнения Даламбера не в обычной сферической системе координат, а в центрально симметричной. То есть в той, где "сфера" и "сферичность" понимаются в гиперболическом смысле, то есть "сфера" тут не евклидова, а псевдоевклидова, то есть, гиперболоид с уравнением:
$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=const$
Стыдно этого не знать или не понять буквально сходу.

EvilPhysicist в сообщении #866094 писал(а):

бред просто.

Откройте, наконец, учебники. Хотя бы по СТО. Чтобы иметь представление о том, что такое пространство Минковского.

В учебниках всего не найти. Нужно немного и своим умом действовать.
Раз Вам трудно представить центрально симметрическую систему координат в четырехмерном пространстве Минковского, попробуйте это сделать в двумерном. И от координат $(t,x)$ перейдите к центрально симметричной, с координатами $(S,a)$. Запишите уравнение Даламбера, которое Вы выписали в обычной сферической системе координат в четырехмерии в этой с "радиус вектором" $S$ и гиперболическим углом $a$. Учитывая, что Вы ищете решение от угла не зависящее, останутся только члены с $S$ и двумерное уравнение Даламбера с сингулярностью на изотропном конусе в правой части у вас примет вид:
$\frac{1}{S} \frac{\partial}{\partial S} \left( S \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$ для $S>0$.
Обратите внимание на правую часть. В ней нет дельта функций или их произведений! И общее решение этого уравнения так же легко находится и оно не содержит функции Хевисайда. Вот оно:
$f(S)=c_0+c_1ln(S)$.
Что в точности соответствует кулоновскому потенциалу точечного заряда в двумерном евклидовом пространстве.
Еще раз подчеркну, что это решение имеет сингулярность не только в начале координат, но и на изотропном конусе $S=0$ и это совсем не то решение для "точечного источника" на псевдоевклидовой плоскости, которое обычно берется в виде произведения двух дельта функций в точке. Однако это так же решение двумерного волнового уравнения с одиночным источником (в чем можно убедиться обычной подстановкой) и оно, на мой взгляд, является не менее фундаментальным, чем общепринятое, соответствующее произведению дельта-функций в правой части. Хотя бы потому, что по формуле записи один в один соответствует решению двумерного уравнения Лапласа для одиночного источника на евклидовой плоскости, а в фундаментальности последнего, надеюсь, ни кто не сомневается...

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #866111 писал(а):

Во-первых, не Лапласа, а Даламбера. Но это, мелкая придирка.

Во-первый, почему вы решили, что уравнение Лапласа и уравнение Даламбера -- разные вещи? Вообще-то оператором Даламбера физики называют оператор Лапласа на 4-мерных многообразиях с псевдоримановой метрикой.

Time в сообщении #866111 писал(а):

Попробуйте записать именно уравнение Лапласа для точечного источника и именно в четырехмерном евклидовом

Даже если вы и правильно написали уравнение, то причем тут физика? У нас пространство не евклидово.

Time в сообщении #866111 писал(а):

То, что Вы не знаете такой центрально симметрической системы координат и не можете ее сходу представить - говорит о слабом геометрическом воображении и отсутствии самостоятельного мышления.

То, что вы не знаете, что в физике называется "сферическими координатами" указывает на ваше невежество.

Time в сообщении #866111 писал(а):

Я записал левую часть четырехмерного уравнения Даламбера не в обычной сферической системе координат, а в центрально симметричной

Докажите. Напишите метрику, в выбранной вами

Time в сообщении #866111 писал(а):

центрально симметричной.

системе координат и покажите как рассчитывали оператор Д'Аламбера.

[Time]

EvilPhysicist в сообщении #866118 писал(а):

Во-первый, почему вы решили, что уравнение Лапласа и уравнение Даламбера -- разные вещи? Вообще-то оператором Даламбера физики называют оператор Лапласа на 4-мерных многообразиях с Римановой метрикой.

Ссылку, пожалуйста..
Оператор Лапласа работает в евклидовых пространствах, оператор Даламбера - в псевдоевклидовых. Вы обозвали ровно наоборот..

EvilPhysicist в сообщении #866118 писал(а):

Даже если вы и правильно написали уравнение, то причем тут физика? У нас пространство не евклидово.

Я специально оговаривался, что рассматриваются два четырехмерных пространства и два оператора в них. Одно из них ближе к физике (пространство Минковского), второе (четырехмерное евклидово пространство) - для сравнений и контраста.

EvilPhysicist в сообщении #866118 писал(а):

Докажите. Напишите метрику, в выбранной вами

Что, в двумерном случае - так же не понятно?

EvilPhysicist в сообщении #866118 писал(а):

системе координат и покажите как рассчитывали оператор Д'Аламбера.

Вы же, кажется, считаете себя специалистом по пространству Минковского. Неужели самому это трудно сделать? Начните с двумерного псевдоевклидова случая..

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #866124 писал(а):

Ссылку, пожалуйста..

Любой учебник по матфизике. Даже в википедии есть.

Time в сообщении #866124 писал(а):

для сравнений и контраста.

С самого начала не очевидно, что в различных пространствах одни и те же уравнения будут давать разные решения?

Time в сообщении #866124 писал(а):

Вы же, кажется, считаете себя специалистом по пространству Минковского

Да

Time в сообщении #866124 писал(а):

Неужели самому это трудно сделать?

Да. Трудно заставить себя делать бессмысленные вещи.

[Time]

EvilPhysicist в сообщении #866126 писал(а):

Трудно заставить себя делать бессмысленные вещи.

Переход от ортонормированной системы координат на двумерной псевдоевклидовой плоскости к псевдоевклидовому аналогу полярной системы координат - вы считаете а'приори бессмысленной вещью? Вы уверены, что оправданно считаете себя специалистом по СТО?