Интегральный синус/косинус

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Выразить через интегральный синус и/или косинус

$$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx$$

Интегрируя по частям, получаю

$$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = - \frac{1}{4} \left ( \frac{\cos(2)}{5} - \frac{\cos(0.2)}{3.2} \right ) - \frac{1}{4} \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(x)}{x+3} dx$$

Рассмотрим последний интеграл, делаем в нем замену $t=x+3$, получаем

$$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t-3) dt}{t}$$

Раскрываем синус разности

$$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t) \cos(3) - \cos(t) \sin(3) }{t}dt$$

В итоге приходим к двум интегралам

$$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt$$

и

$$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\cos(t)}{t}dt$$

Очень хотелось бы сделать так

$$ \int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t}dt = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$

и аналогично для косинуса, причем матпакеты говорят, что так оно и есть... Но есть одно но, интегральный синус определяется как

$$\operatorname{Si}(x) = \int\limits_{0}^{x} \frac{\sin(t)}{t} dt$$

то есть нижний предел в интеграле - ноль, а у меня не ноль...

Подскажите, пожалуйста, кто прав и как быть

Спасибо!

[Otta]

Аддитивностью интеграла воспользуйтесь. Разбейте на нужные промежутки.

[vlad_light]

(Оффтоп)

опередили

[Limit79]

Otta
Нужно чтобы нижний предел был ноль, но ноль не лежит на отрезке $[0.2;2]$... На какие промежутки?

[Otta]

Ну и сделайте ноль. Добавьте-вычтите нужное, ну не маленький же, учить Вас.

[Limit79]

Otta

$$\int\limits_{0.2}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt = \int\limits_{0}^{2} \frac{\sin(t)}{t} dt - \int\limits_{0}^{0.2} \frac{\sin(t)}{t} dt = \operatorname{Si}(2) - \operatorname{Si}(0.2)$$

То есть справедливо

$$\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin(t)}{t} dt = \operatorname{Si}(b) - \operatorname{Si}(a)$$

Но почему тогда этот факт никто не пишет?

[Otta]

Limit79 в сообщении #865882 писал(а):

Но почему тогда этот факт никто не пишет?

А зачем?

[Limit79]

Otta,
Ну... эээ... не знаю как-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

А можно ли в самом начале сделать замену $t=x-0.2$, тогда

$$\int\limit_{0.2}^{2} \frac{\cos(x)}{(2x+6)^2} dx = \int\limit_{0}^{1.8} \frac{\cos(t-0.2)}{(2t+6.4)^2} dt$$

И дальше тем же путем? Так меньше телодвижений получается :-)

Хотя не, интегральный косинус по-другому определяется, поэтому не вижу особого смысла.

-- 21.05.2014, 04:07 --

Otta
Спасибо за помощь!

[Otta]

Limit79 в сообщении #865884 писал(а):

ак-то логичней что-ли определить первообразную, чем какие-то частные случаи...

Так Вам именно первообразную и определили. Одну из.

Limit79 в сообщении #865884 писал(а):

А можно ли в самом начале сделать замену

Можно. Телодвижений столько же. ))